§10 环的同态和理想
对环也有同态的概念：
定义1.10.1（环的同态）
设 L,L′ 是两个环，σ 是 L 到 L′ 的一个映射。若对于 ∀a,b∈L，σ 具有性质：
- σ(a+b)=σ(a)+σ(b)
- σ(ab)=σ(a)σ(b)
则 σ 称为环 L 到 L′ 的一个同态映射，或简称同态。简记为： σ:L↦L′.
显见，环的同态是 L 的加法群的同态。并且知： σ(L) 是 L′ 的一个子环。
定义1.10.2（零同态，满同态，同态象）
若 σ(L)={0}，称其为零同态；
若 σ(L)=L′，称其为满同态， L′称为 L 的一个同态象。
定义1.10.3（核）
设 σ:L↦L′. 定义其核为：
ker(σ)={a∈L∣σ(a)=0}.
若 a,b∈ker(σ)，则：
σ(ab)=σ(a)σ(b)=0,
即 ab∈ker(σ).
也就是说：同态 σ 的核是 L 的一个子环。
定义1.10.4（理想）
设 L 是一环，I∈L 是 L 的一个加法子群，若对于 ∀r∈L,a∈L 有：
ra∈I,ar∈I,
则称 I 为 L 的一个理想（双边理想）。
若 L 的一个加法子群 I 只满足 ra∈I（或 ar∈I）对于 ∀r∈L,a∈I,
则称 I 为 L 的一个左（右）理想。
显然， {0} 和 L 都是环 L 的理想，称其为平凡的理想。
