R-4.多元线性回归

在相关关系一文中，我们探讨了俩数值型变量的相关问题，其中相关系数可反映相关性大小和方向，相关性检验可验证相关系数的可靠性。

但很多时候，仅靠相关分析来研究变量关系是不够的，为了获得更精确的数量关系并进一步做一些推断，有必要引入新的模型方法。

回归分析可以说是最简单的统计模型，但简单并不意味着不好用，就我而言，通常会把线性回归作为一个基准，来对比其它模型的效果。

下面介绍一种常用的回归模型：多元线性回归

引例：R包一个自带数据集，50行5个变量，其中"Murder"作为本次实验的因变量，“Population”、“Illiteracy”、 "Income"和"Frost"作为自变量。

- 模型表达式
accurate_murder=b+k1Population+k2Illiteracy+k3Income+k4Frost

- 参数估计

fit <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost, data = states)
summary(fit)

- 模型诊断
即使得到了参数估计的结果，也不是拿来就能用的，还需要进行一些统计检验，就多元线性回归而言，我们关注：a.多重共线性；b.残差的独立、正态、无自相关；c.回归系数的显著性；d.模型整体的显著性。

• 多重共线性
  即解释变量间的相关性问题，因为都是数值型变量，可以参考相关分析，对本实验4个解释变量进行相关性检验，并输出P值小于0.05的结果，容易看出多重共线性还蛮严重。

library(psych)
rr<-corr.test(states[,-1])
rr<-rr[["p"]]
for (i in 1:4) {
  for (j in c(1:4)[-i]) {
    test<-rr[i,j]
    k<-c(rownames(rr)[i],colnames(rr)[j])
    ifelse(test<=0.05,print(k),print(""))
  }
}

用逐步回归来解决这个问题，最后删去了两变量，保留了Population 和Illiteracy，经过上面的分析可知，这俩变量不相关，多重共线性已消除。

summary(step(fit))

• 残差图
  从下面图形容易看出，除个别异常值以外，残差基本符合经典假定。
• 回归系数和整体模型的显著性
  
  从回归系数t检验的P值来看，population和illiteracy两解释变量都很显著，从整体显著性F检验的P值来看，模型整体也是显著的。
  从调整后的R平方来看，0.5484，跟最初引入四变量的0.5285相比，有稍许改进。

- 结果分析
最终多元回归方程为：
accurate_murder=1.652+2.242X10^-4Population+4.081Illiteracy
其它条件不变，人口每增加1万，谋杀率平均上升2.242个百分点；
其它条件不变，文盲率每增加1个百分比，谋杀率平均上升4.081个百分点。

#做预测
predict(fit,newdata = df)

真实值与预测值如图所示：

拟合优度为0.5484，从图形看也能知道，预测值与真实值其实并不十分吻合，很可能有其它未引入模型的解释变量或者是因为模型的形式问题，比如多项式，这需要结合实际进一步处理，要注意的是拟合优度往往不必过分关注，影响了模型的可解释性和应用就得不偿失了。

来源：CSDN

作者：老身聊发少年狂

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43850016/article/details/103941247