# Learning Convolutional Neural Networks for Graphs

本文的三位作者都来自德国Heidelberg的NEC Labs Europe，文章提出了一种从图数据中提取局部连接区域的通用方法（PATCHY-SAN），用来解决图神经网络中的经典问题：如何在大规模的图上应用卷积？如何将卷积操作泛化到任意结构的图？通过实验证明了算法的有效性，并且模型的计算是高效的。
同样，该模型也考虑了两类任务：

**图分类。**给定一组图，学习一个函数，该函数可用于未知图的分类和回归问题。任何两个图的节点不一定是对应的。例如，收集的每个图可以模拟一个化合物，而输出可以是一个函数，将看不见的化合物映射到它们对癌细胞的活性水平。
**结点或者边的分类。**给定一个大型图，学习可以用来推断不可见的图属性(如节点类型和丢失的边)的图表示形式。

与之前的模型相比，PATCHY-SAN有如下几个优点：
(1).高效。(2).可以可视化观察图的结构。(3).自动生成卷积核，无需特征工程。

接下来就说一说PATCHY-SAN是如何构建的。对于空域卷积操作，本质上就是将非欧式空间的数据经过采样变成欧式数据，本文通过输入的graph的邻域构造适用于固定模式的卷积的receptive fields。但是，**对于许多不同的图来说，结点的结构信息不一致且分布并不规律，在这样的情况下需要解决两个问题：创建某一结点的邻域的节点序列；计算邻域图的标准化，即从图表示到向量空间表示的唯一映射。**为了解决这个问题，本文首先通过算法确定一个恰好由k个节点组成的邻域并将其标准化，也就是说，它被唯一地映射到一个具有固定线性顺序的空间。归一化邻域作为考虑中的节点的接受域。最后，将卷积、稠密层等特征学习组件与归一化邻域图相结合作为CNN的接受域（Figure2）。
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Model and Methods

最先进行的是结点邻域的选择，也就是根据某一些标准从图中选出代表性的结点用于缩小图的结构。而为了衡量这个代表性，论文中提出了一个
labeling方法在这里插入图片描述，V表示结点的集合，S表示有序的标签（整数）的集合。依照个人的理解，举个例子来说，假如labeling函数代表根据结点的度进行排序，那么度最大的结点就会第一个被选取出来。算法1描述了这个采样的过程：
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其中，根据给定的图标记对输入图的顶点进行排序。其次，使用给定的步长遍历得到的节点序列，对于每个访问过的节点，执行算法3构建一个接受域，直到恰好创建了w个接受域。步幅决定了两个相邻节点之间的距离，相对于选择的节点序列，为它们创建一个接受域。如果节点数小于w，该算法将创建所有为零的接受域，用于填充。补零的算法没什么好说的，直接看构建接受域的算法3（Algorithm 1，Line 6）：
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算法3中又调用了算法2和算法4

对于算法2，它为结点v广度优先遍历，生成了大小为k的邻居结点集合。如果v的one-hop邻居数量不够k(Line5)，那么在根据one-hop邻居被采样的顺序去添加two-hop邻居，比如，结点v被采样的邻居有（1,2,3）而k=4，那么要继续添加结点1的一个邻居结点。
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接下来对于算法4，根据labeling的采样以及邻居的采样，为graph生成一个Normalize的表示。这个算法是四个里面最难的，我们一步一步慢慢看。前两行分别对应输入：原始图G的顶点子集U（这个U也就是结点v在算法2中得到的邻居结点），结点v，图labeling方法l，接受域大小k。输出：v的接受域。
Line3：根据l计算U中结点的排名，U中结点w与结点v的距离d(w,v)越大，排名越靠后。Line4-Line8就是说，如果U中结点的个数大于k了，那么使用l计算得出的排名进行截断；要是小于k就使用dummy node补全。其中Line7有个错误，应该是|V|<k。之后就根据之前的labeling结果对子图G[N]进行构建和规范化。
而为了找出最合适的labeling函数，定义了如下公式：
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其中，G为有k个节点的未标记图的集合，l是labeling过程，dG是具有k个节点的图的距离度量，dA是k*k矩阵之间的距离度量。式子左边的达标算法映射采样到向量空间之后，两个不同的图之间的距离；右侧代表在原图之中，两个子图之间的距离度量。**最小化二者的差，也就是说两个结点在图中的结构相似时，他们的线性空间趋于一致。而最小化所有图的差的期望，就能找到适用于整个图的labeling方法。**下图是以上思路的一个例子：
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之前也说明，本模型可以应用于结点和边。对于结点，应用归一化方法得到张量，对于边则得到，因为边需要两个结点来决定，所以是k,k。