有效估计

已知:$X服从X$~$N(1,2\sigma^2)的正态分布$
已知：$\hat\sigma^2=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2$
已知：$f(x_1,x_2,...,x_n;\sigma^2)=(\frac{1}{\sqrt{4\pi\sigma^2}})^ne^{-\frac{1}{4\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2}$
问$\sigma^2$的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论
$Var(\hat\sigma^2)=\frac{1}{4n^2}Var(\sum_{i=1}^{n}(x_1-1)^2)=\frac{1}{4n}Var((x_1-1)^2)$
$X$~$N(1,2\sigma^2)$
$\frac{X-1}{\sqrt{2}\sigma/\sqrt n}$~$N(0,1)$是标准正态分布
$∴\frac{(X-1)^2}{2\sigma^2/1(n) }$~$\chi ^2(1)$
$Var(\frac{(X-1)^2}{2\sigma^2/1(n) })=2$
$\frac{1}{4\sigma^4}Var((X-1)^2)=2$
$Var((X-1)^2)=8\sigma^2$
$\frac{1}{4n}Var((x_1-1)^2)=\frac{1}{4n} * 8\sigma^4=\frac{2\sigma^4}{n}$

似然函数：$L(\sigma^2)=f(x_1,x_2,...,x_n;\sigma^2)=(\frac{1}{\sqrt{4\pi\sigma^2}})^ne^{-\frac{1}{4\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2}$
对数似然函数：$lnL(\sigma^2)=lnf(x_1,x_2,...,x_n;\sigma^2)$
$=-\frac{n}{2}(ln(4\pi)+ln(\sigma^2)) -\frac{1}{4\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2$
对对数似然函数求导得：
$\frac{\partial lnL(\sigma^2)}{\partial \sigma^2}=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{4\sigma^4}(x_i-1)^2$
二次求导得：n=1
$\frac{\partial^2 lnL(\sigma^2)}{(\partial \sigma^2)^2}=\frac{1(n)}{2\sigma^4}-\frac{1}{2\sigma^6}(x_i-1)^2$
$I(\sigma^2)=-E(\frac{\partial^2 lnL(\sigma^2)}{(\partial \sigma^2)^2})$
$=-\frac{1}{2\sigma^4}+\frac{1}{2\sigma^6}E((x-1)^2)$

$\frac{X-1}{\sqrt{2}\sigma/\sqrt n}$~$N(0,1)$是标准正态分布
$∴\frac{(X-1)^2}{2\sigma^2/1(n) }$~$\chi ^2(1)$
$E(\frac{(X-1)^2}{2\sigma^2})=1$
$E((X-1)^2)=2\sigma^2$
$I(\sigma^2)=\frac{1}{2\sigma^4}$
从而$Var(\hat\sigma^2)=\frac{2\sigma^4}{n}$
$\frac{((\sigma^2)^{'})^2}{nI(\sigma^2)}=\frac{2\sigma^4}{n}$
从而$Var(\hat \sigma^2)=\frac{2\sigma^2}{n}=\frac{((\sigma^2)^{'})^2}{nI(\sigma^2)}$，即信息不等式等号成立，故$\hat\sigma^2=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)^2$是$\sigma^2$的有效估计。

来源：CSDN

作者：Philtell

链接：https://blog.csdn.net/CCCrunner/article/details/103794497