算法导论-堆排序

北慕城南 提交于 2019-12-31 02:36:19

堆排序的时间复杂度是,具有空间原址性,即任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。

 

一、堆

二叉堆是一个数组,可看成一个近似的完全二叉树,树上的每个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外,该树是完全充满的,而且是从左到右填充。

二叉堆可以分为两种形式:最大堆和最小堆。在最大堆中除根节点外所有结点i都要满足:,即某个结点的值至多与其父结点一样大。在最小堆中除根节点外所有结点i都要满足:

说明:堆排序中,我们使用最大堆,最小堆通常用于构造优先队列。

 

二、维护堆的性质

函数MAX-HEAPIFY的输入为一个数组A和下标i,假定根节点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树都是最大堆,通过让A[i]的值在最大堆中逐级下降,从而使得以下标i为根结点的子树为最大堆。

函数MAX-HEAPIFY的时间代价包括:调整A[i]、A[LEFT[i]]和A[RIGHT[i]]关系的时间代价,加上以一颗i的一个孩子为根结点的子树上运行MAX-HEAPIFY的时间代价(假设递归调用会发生)。

 

下面首先证明每个子树的大小至多为2n/3。

证明:设堆的高度为h,最后一层结点个数为m,则整个堆的结点总数为:

根结点的左子树结点总数为:

根结点的右子树结点总数为:,其中

当最底层恰好半满的时候,,则

解出:

 

因此,每个子树的大小至多为2n/3(最坏情况发生在树的最底层恰好半满的时候),MAX-HEAPIFY的运行时间为:

,解出

 

三、建堆

可以利用自底向上的方法利用MAX-HEAPIFY把一个大小为n的数组转换为最大堆,子数组A[n/2+1…n]中的元素都是叶子结点,每个叶子结点可看成只包含一个元素的堆。

可以简单估算函数BUILD-MAX-HEAP运行时间的上界。每次调用MAX-HEAPIFY的时间复杂度是,BUILD-MAX-HEAP需要次这样的调用,因此总的时间复杂度是

说明:

(1)这个上界虽然正确,但不是渐进准确的。因为不同结点运行MAX-HEAPIFY的时间与该结点的高度有关,且大部分结点高度都很小可以证明能够在线性时间内,把一个无序数组构造成为一个最大堆。

(2)也可以通过调用BUILD-MIN-HEAP在线性时间内,把一个无序数组构造成为一个最小堆。BUILD-MIN-HEAP与BUILD-MAX-HEAP完全相同。

(3)因为有n个结点,最后一个元素序号为n,那么它的parent结点应该是序号最大的parent结点,那么这个parent结点就为[n/2],其之后都是叶子结点,为[n/2] + 1, [n/2] + 2, ..., n。

 

四、堆排序算法

思路:初始时,利用BUILD-MAX-HEAP将数组A[1…n]建成最大堆。因为数组中最大元素总在根结点A[1]中,通过它与A[n]进行互换,可让最大元素放到正确的位置。然后,从堆中去掉结点n,剩余结点中,原来根的孩子结点仍然是最大堆,新的根结点可能会违背最大堆的性质。为了维护最大堆的性质,调用MAX-HEAPIFY(A,1),从而在A[1…n-1]上构造一个新的最大堆。堆排序算法会不断重复这个过程,直到堆的大小由n-1降为2。

HEAPSORT过程的时间复杂度是,因为每次调用BUILD-MAX-HEAP的时间复杂度是,而n-1次调用

MAX-HEAPIFY,每次的时间为

下面给出堆排序算法的参考程序:

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 #define LEFT(i)        2 * i
 5 #define RIGHT(i)    2 * i + 1
 6 
 7 class MaxHeap
 8 {
 9 public:
10     void BuildMaxHeap(int *A, int len);
11     void MaxHeapfy(int *A, int i, int len);
12     void HeapSort(int *A, int len);
13 };
14 
15 void MaxHeap::MaxHeapfy(int *A, int i, int len)
16 {
17     int left = LEFT(i);
18     int right = RIGHT(i);
19     int large;
20 
21     if (left <= len && A[left - 1] > A[i - 1])
22     {
23         large = left;
24     }
25     else
26     {
27         large = i;
28     }
29 
30     if (right <= len && A[right - 1] > A[large - 1])
31     {
32         large = right;
33     }
34 
35     if (i != large)
36     {
37         int tmp = A[i - 1];
38         A[i - 1] = A[large - 1];
39         A[large - 1] = tmp;
40 
41         MaxHeapfy(A, large, len);
42     }
43 }
44 
45 void MaxHeap::BuildMaxHeap(int *A, int len)
46 {
47     for (int i = len / 2; i > 0; --i)
48     {
49         MaxHeapfy(A, i, len);
50     }
51 }
52 
53 void MaxHeap::HeapSort(int *A, int len)
54 {
55     BuildMaxHeap(A, len);
56 
57     for (int i = len; i > 1; --i)
58     {
59         int tmp = A[0];
60         A[0] = A[i - 1];
61         A[i - 1] = tmp;
62 
63         MaxHeapfy(A, 1, i - 1);
64     }
65 }
66 
67 //Test
68 int main()
69 {
70     MaxHeap Test;
71     int A[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
72 
73     Test.HeapSort(A, 10);
74     for (int i = 0; i < 10; ++i)
75     {
76         cout << A[i] << " ";
77     }
78     cout << endl;
79 
80     return 0;
81 }
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