AVL 树介绍 | 易学教程

文章目录

AVL 树引出

AVL 树的定义
AVL 树的插入
AVL 树的旋转(4种)

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

AVL 树性能分析

AVL 树引出

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

一棵 AVL 树，或者是空树，或者具有以下性质的二叉搜索树

左子树和右子树都是 AVL 树
左右子树的高度差（也叫做平衡因子）绝对值不超过1（-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的就称它为 AVL 树，如果它有 n 个节点，它的高度为O(logN)，查找的时间复杂度为O(logN)

AVL 树的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode(const T& data = T())
		: _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _data(data)
		, _bf(0)
	{}
	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;
};

AVL 树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树

AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

插入前平衡因子可能为 -1 0 1，插入后
如果插入到 pParent 左子树那么只需要将 pParent 的平衡因子 -1 得到的平衡因子可能为 -2 -1 0
如果插入到 pParent 右子树那么只需要将 pParent 的平衡因子 +1 得到的平衡因子可能为 0 1 2

根据平衡因子判断平衡性是否遭到破坏

如果插入后 pParent 的平衡因子为 0，说明插入之前是 -1 或 1，插入后平衡性没有遭到破坏，并且高度没有增加，此时满足 AVL 树性质
如果插入后 pParent 的平衡因子为正负1，说明插入之前是 0，插入后平衡性没有遭到破坏，但是高度增加了，此时应该继续向上更新平衡因子
如果插入后 pParent 的平衡因子为正负2，插入后平衡性遭到破坏，应该对以 pParent 为根的树进行旋转处理

bool Insert(const T& key) {
	//1. 先按照二叉搜索树的方式进行插入
	//2. 调整平衡因子
	//为空，直接插入
	if (_pRoot == nullptr) {
		_pRoot = new Node(key);
		return true;
	}

	//不为空
	//先找到待插入位置
	Node* pCur = _pRoot;
	Node* pParent = nullptr;
	while (pCur) {
		pParent = pCur;
		if (key == pCur->_data)
			return false;
		else if (key < pCur->_data)
			pCur = pCur->_pLeft;
		else
			pCur = pCur->_pRight;
	}
	//进行插入操作
	Node* pNode = new Node(key);
	if (key < pParent->_data) {
		pParent->_pLeft = pNode;
		pNode->_pParent = pParent;
	}
	else {
		pParent->_pRight = pNode;
		pNode->_pParent = pParent;
	}

	//调整平衡因子，并检测是否破坏平衡性
	while (pParent) {
		//如果插入到 pParent 左子树那么只需要将 pParent 的平衡因子 - 1
		//如果插入到 pParent 右子树那么只需要将 pParent 的平衡因子 + 1
		if (pNode == pParent->_pLeft)
			pParent->_bf--;
		else
			pParent->_bf++;

		if (pParent->_bf == 0) {
			//如果插入后 pParent 的平衡因子为 0，说明插入之前是 - 1 或 1，插入后平衡性没有遭到破坏，
			// 并且高度没有增加，此时满足 AVL 树性质
			break;
		}
		else if (pParent->_bf == 1 || pParent->_bf == -1) {
			//如果插入后 pParent 的平衡因子为 正负1，说明 插入之前是 0，插入后平衡性没有遭到破坏，
			//但是高度增加了，此时应该继续向上更新平衡因子
			pNode = pParent;
			pParent = pNode->_pParent;
		}
		else {
			//如果插入后 pParent 的平衡因子为 正负2，插入后平衡性遭到破坏
			//应该对以 pParent 为根的树进行旋转处理
			if (pParent->_bf == 2) {
				//右子树高
				if (pNode->_bf == 1) {
					//插入位置为较高右子树的右侧 - 左单旋
					_RotateL(pParent);
				}
				else {
					//插入位置为较高右子树的左侧 - 右左单旋
					_RotateRL(pParent);
				}
			} else {
				//左子树高
				if (pNode->_bf == -1) {
					//插入位置为较高左子树的左侧 - 右单旋
					_RotateR(pParent);
				} else {
					//插入位置为较高左子树的右侧 - 左右单旋
					_RotateLR(pParent);
				}
			}
			//旋转后更新 pParent 和 pNode 位置
			//旋转后高度和插入前相同，因此旋转完直接退出，不用继续更新
			pNode = pParent->_pParent;
			pParent = pNode->_pParent;
			break;
		}
	}
	return true;
}

AVL 树的旋转(4种)

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

在这里插入图片描述

上图插入前，AVL 树是平衡的，新节点 10 插入到20 的左子树中，20左子树增加了一层，以 50 为根的树平衡收到了破坏，因此需要让 50 左子树减少一层，右子树增加一层

即将 30 向上提，50 就会右旋下来，40 比 50小，因此就放在 50 的左子树，然后更新平衡因子即可

注意：

40 这个节点可能存在也可能不存在
新插入的节点可能位于 20 左侧，也可能位于右侧
50 这个节点可能是根节点，也可是子树，如果是根节点更新完需要更新根节点
如果是子树，可能是左子树也可能是右子树
发生变动的平衡因子：pParent pLeft

void _RotateR(Node* pParent) {
	//pSubL: pParent的左孩子
	//pSubLR: pParent左孩子的右孩子
	//pPPraent: pParent的双亲
	Node* pSubL = pParent->_pLeft;
	Node* pSubLR = pSubL->_pRight;
	Node* pPParent = pParent->_pParent;
		
	pSubL->_pRight = pParent;
	pSubL->_pParent = pPParent;
	pParent->_pParent = pSubL;
	pParent->_pLeft = pSubLR;
	//pSubLR可能为空
	if (pSubLR)
		pSubLR->_pParent = pParent;


	if (pPParent == nullptr) {
		//如果 pParent 是根节点
		_pRoot = pSubL;
	} else {
		//如果 pParent 是子树，可能是左子树也可能是右子树
		if (pPParent->_pLeft == pParent)
			pPParent->_pLeft = pSubL;
		else
			pPParent->_pRight = pSubL;
	}

	//根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	pSubL->_bf = 0;
	//pParent 的平衡因子不确定，可能为 0 也可能为 -1
	if (pParent->_pRight == nullptr && pParent->_pLeft != nullptr)
		pParent->_bf = -1;
	else
		pParent->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

情况类似于右单旋

void _RotateL(Node* pParent) {
	//pSubR: pParent的右孩子
	//pSubRL: pParent右孩子的左孩子
	//pPPraent: pParent的双亲
	Node* pSubR = pParent->_pRight;
	Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;
	Node* pPParent = pParent->_pParent;

	pSubR->_pLeft = pParent;
	pSubR->_pParent = pPParent;
	pParent->_pRight = pSubRL;
	pParent->_pParent = pSubR;
	//pSubRL可能为空
	if (pSubRL)
		pSubRL->_pParent = pParent;

	if (pPParent == nullptr) {
		//如果 pParent 是根节点
		_pRoot = pSubR;
		pSubR->_pParent = NULL;
	} else {
		//如果 pParent 是子树，可能是左子树也可能是右子树
		if (pPParent->_pLeft == pParent)
			pPParent->_pLeft = pSubR;
		else
			pPParent->_pRight = pSubR;
	}
	//pSubR 平衡因子一定是0
	pSubR->_bf = 0;
	//pParent 的平衡因子不确定，可能为 0 也可能为 -1
	if (pParent->_pRight == nullptr && pParent->_pLeft != nullptr)
		pParent->_bf = -1;
	else
		pParent->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

在这里插入图片描述

将双旋变成单旋后再旋转，即先对 30 进行左单旋，然后再对 50 进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新

void _RotateLR(Node* pParent) {
	// 先进行左单旋
	_RotateL(pParent->_pLeft);
	// 再进行右单旋
	_RotateR(pParent);
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

在这里插入图片描述

将双旋变成单旋后再旋转，即先对 40 进行右单旋，然后再对 20 进行左单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新

void _RotateRL(Node* pParent) {
	// 先进行右单旋
	_RotateR(pParent->_pRight);
	// 再进行左单旋
	_RotateL(pParent);
}

AVL 树性能分析

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 O(logN)。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时为了要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多

适用场景：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

来源：https://blog.csdn.net/qq_40860852/article/details/99458605

标签

avl