线性代数笔记4 | 易学教程

The Span of the set of vectors

Definition 1

Let $\mathcal { S } = \left\{ \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } , \dots , \mathbf { u } _ { k } \right\}$ is a set of vectors from $\mathcal{R^n}$, the span of $\mathcal{S}$ is all linear combinations in $\mathcal{R^n}$, the set is denoted by span $\mathcal{S}$, or span $\left\{ \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } , \dots , \mathbf { u } _ { k } \right\}$

$\vec v \in \text{span } \mathcal{S} \Longleftrightarrow \vec v \text{ can be some linear combination by the vectors from $\mathcal{S}$} \Longleftrightarrow \mathbf{A}\vec x = \vec v\text{ is consistent where $\mathbf{A} = [\vec u_1~ \cdots~\vec u_n]$}$

Definition 2

If $\mathcal{ V}$ is a set of vectors from $\mathcal{R^n}$ and span $\mathcal{S}$ = $\mathcal{V}$, then we can say that $\mathcal{S}$ generates $\mathcal{V}$ or that $\mathcal{S}$ is a generating set of $\mathcal{V}$,

Example 1

Let $\mathcal { S } = \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { r } { 1 } \\ { - 2 } \\ { - 1 } \end{array} \right] \right\}$, show that span $\mathcal{S} = \mathcal{R^3}$

证明：

由于 $\text{span }\mathcal{S} \subset \mathcal{R}^3$是显然成立的，我们需要证明$\mathcal{R}^3 \subset \text{span }\mathcal{S}$, 即$\mathcal{R^3}$中的任一向量$\vec v$是属于$\text{span } \mathcal{S}$的，进一步，我们就是要证明方程$\mathbf{A}x = v$是有解的(or named consistent)$(\forall \vec v \in \mathcal{R^3})$，其中
\[ \mathbf{A} = \left[ \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] \]
将矩阵A化为最简行阶梯形式R
\[ \mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {-1}\end{array}\right] \]

由此可知，将增广矩阵$[\mathbf{A}~ b]$化为$[\mathbf{R}~ c]$之后，这里不管$\vec c$是多少，线性方程组一定是可求解的，即不管增广矩阵$[\mathbf{A}~b]$是多少，线性方程组一定是有解的，这对$\mathcal{R^3}$中的任意向量$\vec v$都成立，则$\mathcal{R^3} \subset \text{span } \mathcal{S}$，根据上述所证明结论可以的出span $\mathcal{S} = \mathcal{R^3}$。

Theorem 1.6

The following statements about an $m \times n$ matrix $\mathbf{A}$ are equivalent

(a) The span of columns of $\mathbf{A}$is $\mathcal{R^m}$

(b) The equation $\mathbf{A}x = b$ has at least one solution ($Ax = b$ is consistent) for each b in $\mathcal{R^m}$

(d) The reduced row echelon form of $\mathcal{A}$ has m nonzero rows

(e) There is a pivot in each row of $\mathcal{A}$

只证明 (b)$\Longleftrightarrow$(c)，其他的可以由定义直接推出

(1) (b) $\Rightarrow$ (c)

假设(c)不成立，即rank($\mathbf{A}$) < m，则矩阵$\mathbf{A}$化为最简行阶梯型矩阵R之后，最后的一行一定是非零行，我们取第m个元素为1的单位向量$\vec e_m$与$\mathbf{R}$组成矩阵$[\mathbf{R}~e_m]$，则$[\mathbf{R}~e_m]$是不相合的(根据定理1.5)，由于将$\mathbf{A}$变为$\mathbf{R}$的基本行变换是可逆的，我们对$[\mathbf{R}~ e_m]$施加这一系列行变换的逆变换，则可以得到增广矩阵$[\mathbf{A}~ b]$，由$[\mathbf{R}~ e_m]$不是相合的我们可以得到$[\mathbf{R}~ e_m]$不是相合的，且$\vec b \in \mathbf{R^m}$，则与前提(b)相悖，假设不成立，即(c)是成立的，(b) $\Rightarrow$ (c)得证

(2) (c) $\Rightarrow$ (b)

由(c)可知$[\mathbf{A}~ b]$化$[\mathbf{R}~c]$之后，$[\mathbf{R}~c]$不存在只在最后列有非零元的行，由之前的定理1.5，$\mathbf{A} x = b$是相合的，即(b)成立，(b) $\Rightarrow$ (c)得证。

综上，(b)$\Longleftrightarrow$(c)

$[1~-1]^{T}， [0~1]^{T}$可以张成$\mathcal{R}^2$，进而$[1~-1]^{T}， [0~1]^{T}， [2 ~3]^{T} $也可以张成$\mathcal{R}^2$，那么如何给出最小的有穷集合$\mathcal{S}$，使得span $\mathcal{S} = \mathcal{R}^m$，如果不是最小，$\mathcal{S}$中多余的向量$~\vec v~$又有什么性质。

Theorem 1.7

Let $\mathcal{S} = \lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n\rbrace$, prove that

\[ span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n\rbrace = span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n, \vec v\rbrace \Longleftrightarrow \vec v \in span~\mathcal{S} \]
证明：
充分性：
$\vec v \in span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n, \vec v\rbrace$，且 $span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n\rbrace = span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n, \vec v\rbrace$，有$\vec v \in span~\lbrace \vec u_1, \cdots , \vec u_n\rbrace = ~span~\mathcal{S}$，充分性得证。

必要性：
$\vec v \in ~span~\mathcal{S}$则$\vec v$是集合S中的向量的线性组合，不妨设
\[ \vec v = c_1 \vec u_1 + c_2 \vec u_2 + \cdots + c_n\vec u_n \]
则span {$\mathcal{S} \cup {\vec v}$}中的任意一个向量$\vec \alpha = l_1 \vec u_1 + l_2 \vec u_2 + \cdots + l_n\vec u_n + c_1 \vec u_1 + c_2 \vec u_2 + \cdots + c_n\vec u_n$，整理可得
\[ \vec \alpha = (l_1 + c_1)\vec u_1 + (l_2 + c_2)\vec u_2 + \cdots + (l_n + c_n)\vec u_n \in~span~\mathcal{S} \]
即span {$\mathcal{S}\cup{\vec v}$} $\subset$ span $\mathcal{S}$，另一方面，span $\mathcal{S}$ $\subset$ span {$\mathcal{S}\cup{\vec v}$} 是显然的，所以span $\mathcal{S}$ = span {$\mathcal{S} \cup {\vec v}$}，必要性得证。

Remark

方程组的解与系数矩阵的秩$rank(\mathbf{A})$和增广矩阵的秩$rank([\mathbf{A}~b])$的关系

设$rank(\mathbf{A}) = m, rank([\mathbf{A}~b]) = n, \mathbf{A}$的列数是$~k$.

(1) n > m 线性方程组无解(存在$0a_1 + \cdots +0a_n = d \neq 0$)

(2) n = m 线性方程组有解，1. n = m = k 唯一非零解 2. n = m < k 无数解

而当$~b = 0~$的时候，$\mathbf{A}x = b \rightarrow \mathbf{A}x = 0$就是齐次线性方程组，至少有一个零解。

(1) n < k 线性方程组有无数解

(2) n = k 线性方程组有唯一零解

Problem

(1) 矩阵$\mathbf{A}$经过初等行变换之后化为最简行阶梯型的矩阵为$\mathbf{R}$，设$\mathcal{A}$代表由$\mathbf{A}$中的行向量组成的集合，$\mathcal{R}$代表由$\mathbf{R}$中的行向量组成的集合，则有
\[ span~\mathcal{A} = span~\mathcal{R} \]$\qquad (span~\lbrace \vec u_1 , \vec u_2, \cdots, \vec u_n\rbrace = span~\mathcal{A})$ \]

证明：为了简单起见，我们先考虑初等变换发生在$\mathbf{A}$的第一行和第二行之间
case I: 矩阵$\mathcal{A}$发生了行交换
很明显，交换后的行向量组成的集合中的元素是不会发生改变的，span也就不会发生改变
case II: 一个scalar k乘以矩阵$\mathcal{A}$的第一行($k \neq 0$)
\[ \forall \alpha \in span~\mathcal{A} \Rightarrow \alpha = c_1 \vec u_1 + c_2 \vec u_2 + \cdots + c_n \vec u_n = \dfrac{c_1}{k}k \vec u_1 + c_2 \vec u_2 + \cdots + c_n \vec u_n \in span \lbrace k\vec u_1, \vec u_2, \cdots, \vec u_n\rbrace \\ \forall \alpha \in span \lbrace k\vec u_1, \vec u_2, \cdots, \vec u_n\rbrace \Rightarrow \alpha = m_1 k\vec u_1 + \cdots + m_n \vec u_n \in span~\mathcal{A} \]
我们可以得到
\[ span~\mathcal{A} \Longleftrightarrow span~\lbrace k\vec u_1, \vec u_2, \cdots, \vec u_n\rbrace \]
case III: 矩阵$\mathbf{A}$的第一行乘以scalar k之后加到第二行上
\[ \forall \alpha \in span~\mathcal{A} \Rightarrow \alpha = c_1 \vec u_1 + c_2 \vec u_2 + \cdots + c_n \vec u_n = (c_1-c_2k)\vec u_1 + c_2(k\vec u_1 + \vec u_2) + \cdots + c_n \vec u_n \in span \lbrace \vec u_1, \vec u_2 + k\vec u_1, \cdots, \vec u_n\rbrace \\ \forall \alpha \in span \lbrace \vec u_1, \vec u_2 + k\vec u_1, \cdots, \vec u_n\rbrace \Rightarrow \alpha = (m_1 + km_2)\vec u_1 + \cdots + m_n \vec u_n \in span~\mathcal{A} \]

我们可以得到
\[ span~\mathcal{A} \Longleftrightarrow span~\lbrace \vec u_1, \vec u_2 + k\vec u_1, \cdots, \vec u_n\rbrace \]
即矩阵$\mathbf{A}$经过若干次初等行变换的矩阵$\mathbf{B}$有$span~\mathcal{A} \Longleftrightarrow span~\mathcal{B}$，以此类推，我们可以得到
\[ span~\mathcal{A} \Longleftrightarrow span~\mathcal{R} \]
(2)上题中$\mathbf{A}$的列向量和$\mathbf{R}$中的列向量张成的空间是否等价

否，反例$A = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right]$，$R = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right]$

来源：https://www.cnblogs.com/zhufang/p/10988689.html

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