最大流

标签（空格分隔）：图论网络流学习笔记

一.定义

1.网络流图

\(c_{u,v}\)表示连接\((u,v)\)的容量,\(f_{u,v}\)表示连接\((u,v)\)的流量

只有出边的点称为源点，记作\(S\)；

只有入边的点称为汇点，记作\(T\)；

1.\(f_{x,y}\le c_{x,y}\)很显然，如果F>C水管就炸了~~
2.流量守恒:流入多少流出多少

\[\displaystyle\sum_{x\neq S\&x\neq T,x\in V,(x,y)}f_{x,y}=\sum_{y\neq S\&y\neq T,y\in V,(y,z)}f_{y,z}\]

3.\(f_{x,y}=-f_{y,x}\)
4.容量=流量+残量

2.增广路

正向弧均不饱和，反向流均不为零的可行流

3.最大流

通过退流使得图中无增广路的可行流量

二.求法

0.FF(Ford-Fulkerson)算法

随便找一条从\(S\)到\(T\)的路径增广流，然后往这条路径上退流(正向-反向+)\(x\),\(x\)为这条路径上最小的流量(瓶颈)

~~太垃圾了~~

1.EK(Edmonds-Karp)算法

随便找一条从\(S\)到\(T\)的路径最短增广流，然后往这条路径上退流(正向-反向+)\(x\),\(x\)为这条路径上最小的流量(瓶颈)

\(O(nm^2)\)

2.Dinic算法

每次用\(DFS\)构造到\(S\)的层次图(最短可行路径图)

然后\(BFS\)按照层次图顺序增广

\(O(n^2m)\)适合宽图

inline char bfs(void){
    re int i,x,y;memset(dis,-1,(n+1)<<2);
    dis[S]=0;while(!q.empty())q.pop();q.push(S);
    while(!q.empty()){
        x=q.front();q.pop();
        for(i=h[x];i;i=e[i].next){y=e[i].to;if(dis[y]<0&&e[i].flow){dis[y]=dis[x]+1,q.push(y);if(y==T)return 1;}}
    }
    return 0;
}
inline int dfs(re int x,re int maxflow){
    re int y,res=0,dlt;
    if(x==T)return maxflow;
    for(re int&i=cur[x];i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(e[i].flow&&dis[y]==dis[x]+1){
            dlt=dfs(y,min(e[i].flow,maxflow));
            if(!dlt)dis[y]=0;
            e[i].flow-=dlt;e[i^1].flow+=dlt;
            res+=dlt;maxflow-=dlt;
            if(!maxflow)return cur[x]=h[x],res;
        }
    }
    return cur[x]=h[x],res;
}

3.(I)SAP算法

用一次\(BFS\)求出到\(T\)层次图

不断\(DFS\)更改并增广层次图

用\(gap\)记录层次个数，出现断层结束

\(O(n^2m)\)适合深图

inline void bfs(void){
    re int i,x,y;
    q.push(T);dis[T]=1;
    while(!q.empty()){
        x=q.front();q.pop(); 
        for(i=h[x];i;i=e[i].next){
            y=e[i].to;
            if(!dis[y]){q.push(y);++gap[dis[y]=dis[x]+1];} 
        }
    }
}
inline int dfs(re int x,re int maxflow){
    re int dlt,y,res=0;
    if(x==T)return maxflow;
    for(re int&i=cur[x];i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(dis[x]==dis[y]+1&&e[i].flow){
            dlt=dfs(y,min(maxflow,e[i].flow));
            e[i].flow-=dlt;e[i^1].flow+=dlt;
            res+=dlt;maxflow-=dlt;
            if(!maxflow||dis[S]==n+1)return cur[x]=h[x],res; 
        }
    } 
    if(!(--gap[dis[x]]))dis[S]=n+1;++gap[++dis[x]];
    return cur[x]=h[x],res;
}

三.最大流最小割定理

最大流的流量=最小割的容量

证明

*四.建图

1.方法

(1)首先明白容量的含义，比如\(S\)向某点连边其实限制的是最多来源，某点向\(T\)连边其实限制的是最多得到

(2)表达某些特定含义往往需要拆点，如限制了到达次数什么的就需要拆入出点，在两点间容量限制了

(3)实在没办法得到高效建图就通过合并点来解决

2.实例

1.\(BSOJ2536\)

有 M 个猪圈（M ≤ 1000），每个猪圈里初始时有若干头猪。
一开始所有猪圈都是关闭的。
依次来了 N 个顾客（N ≤ 100），每个顾客分别会打开指定的几个猪圈，从中买若干头猪。
每个顾客分别都有他能够买的数量的上限。
每个顾客走后，他打开的那些猪圈中的猪，都可以被任意地调换到其它开着的猪圈里，然后所有猪圈重新关上。

因为这里猪圈猪的数量限制的是顾客能买的数量，所以把顾客当成结点建图

每个顾客用一个结点表示，向汇连其购买上限的边

对于每个猪圈，源向打开它的第一个顾客连该猪圈猪的数量的边

对于每个猪圈，每个顾客向下一个顾客连\(INF\)的边

五.例题

专门开一篇博客

来源：https://www.cnblogs.com/66t6/p/12059741.html

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