计算几何-经典算法-凸包

　　在学习了一些有关计算机几何的基础知识和一些基本工具之后要快速的解决一些简单的几何问题，如两点之间的距离、两线段的交点个数等等是可以轻松应付的，但是对于复杂点的几何问题，我们还是要有更好的算法，这样才可以更高效的解决它。在这一篇中来总结平面凸包的 Graham算法；http://www.cnblogs.com/jbelial/

平面凸包：

定义：对一个简单多边形来说，如果给定其边界上或内部的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点都被包含在该多边形的边界上或内部的话，则该多边形为凸多边形。

在解决平面凸包下面介绍了两种算法：

一、 Graham扫描法，运行时间为O(nlgn)。

二、 Jarvis步进法，运行时间为O(nh),h为凸包中的顶点数。

例题 1

 1 问题描述1： 2 求覆盖平面上n 个点的最小的凸多边形。也可以这样描述：给定一个连接的多边形，可能是凸多边形，也有可能是凹多边形。现在，你的任务就是编程求这个多边形的最小凸包。如果它本身是凸多边形，那么最小凸包就是它本身。 3 数据范围： 4 多边形顶点坐标X，Y 是非负整数，不超过512。 5 输入： 6 共有K 组数据，每组测试数据的点都是按逆时针顺序输入的，没有3 个点共线。 7 每组测试数据的第1 行是N，表示有N 个点。以下N 行，每行两个整数X，Y。 8 输出： 9 输出格式与输入格式一样，第一行是K，表示共有K 组输出。以下K 组数据：10 每组的第一行为M，表示该凸包上有M 个顶点，以下M 行每行两个整数X，Y，表示凸包顶点的坐标。也按逆时针方向输出。11 样例输入：12 113 1414 30 3015 50 6016 60 2017 70 4518 86 3919 112 6020 200 11321 250 5022 300 20023 130 24024 76 15025 47 7626 36 4027 33 3528 样例输出：29 130 831 60 2032 250 5033 300 20034 130 24035 76 15036 47 7637 30 30

Graham扫描法

基本思想：通过设置一个关于候选点的堆栈s来解决凸包问题。

操作：输入集合Q中的每一个点都被压入栈一次，非CH（Q）(表示Q的凸包)中的顶点的点最终将被弹出堆栈，当算法终止时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为个各顶点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

注：下列过程要求|Q|>=3，它调用函数TOP（S）返回处于堆栈S 顶部的点，并调用函数NEXT-TO –TOP（S）返回处于堆栈顶部下面的那个点。但不改变堆栈的结构。

GRAHAM-SCAN(Q)

1 设P0 是Q 中Y 坐标最小的点，如果有多个这样的点则取最左边的点作为P0；

2 设<P1,P2,……,Pm>是Q 中剩余的点，对其按逆时针方向相对P0 的极角进行排序，如果有数个点有相同的极角，则去掉其余的点，只留下一个与P0 距离最远的那个点；

3 PUSH(p0 , S)

4 PUSH(p1 , S)

5 PUSH(p3 , S)

6 for i ← 3 to m

7 do while 由点NEXT-TOP-TOP（S），TOP（S）和Pi 所形成的角形成一次非左转

8 do POP(S)

9 PUSH(pi , S)

10 return S

首先，找一个凸包上的点，把这个点放到第一个点的位置P0。然后把P1~Pm 按照P0Pi的方向排序，可以用矢量积(叉积)判定。

做好了预处理后开始对堆栈中的点<p3,p4,...,pm>中的每一个点进行迭代，在第7到8行的while循环把发现不是凸包中的顶点的点从堆栈中移去。（原理：沿逆时针方向通过凸包时，在每个顶点处应该向左转。因此，while循环每次发现在一个顶点处没有向左转时，就把该顶点从堆栈中弹出。）当算法向点pi推进、在已经弹出所有非左转的顶点后，就把pi压入堆栈中。