深度学习基础 - 余弦定理

深度学习基础 - 余弦定理

flyfish

$A D=b \cos A, \\C D=b \sin A,$
$B D=A B-A D \\ B D=c-b \cos A$
根据是勾股定理
$\begin{aligned} B C^{2} &=B D^{2}+C D^{2} \\ &=(c-b \cos A)^{2}+(b \sin A)^{2} \\ &=c^{2}-2 c b \cos A+b^{2} \\ \mathbb{整理得} \, a^{2}=& b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \end{aligned}$

$也就是 a^{2}= b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha$
中间计算会用到
$\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)=1$
可以看 三角函数
同理可得其他的式子

$\begin{array}{l} c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \gamma \\ {b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 a c \cos \beta} \\ {a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \alpha}\end{array}$

转换下就是
$\begin{aligned} \cos \alpha &=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \\ \cos \beta &=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a} \\ \cos \gamma &=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \end{aligned}$

如果利用正弦定理是这样的

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{c}{\sin (A+B)}$

$b \sin A=a \sin B$
$c \sin A=a \sin (A+B)=a \sin A \cos B+a \cos A \sin B$

$a^{2}=(c-b \cos A)^{2}+(b \sin A)^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
结果是
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

$\sin C=\sin (A+B)$的理由是
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$
$\sin (A+B)=\sin \left(180^{\circ}-\angle C\right)=\sin C$
也就是
$\begin{array}{l}{\sin C=\sin (\pi-(A+B))} \\ {=\sin (A+B)}\end{array}$

来源：https://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/99460784