一个分块矩阵求逆矩阵的结论

文章目录

• P205 例15
• 解

P205 例15

$B=\begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix}$
其中$B_1、B_2$分别是$r、s$级矩阵。求$B$可逆的充要条件以及$B$可逆时的$B^{-1}$

解

• 由Laplace定理可得$|B|=(-1)^{rs}|B_1||B_2|$ $\Rightarrow |B_1|\ne0,|B_2|\ne0则B可逆$
• 此时有$\begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\\B_1^{-1}&0\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} I_r&0\\0&I_s\end{pmatrix}$
• $\Rightarrow$ $\begin{pmatrix}0&B_1\\B_2&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\\B_1^{-1}&0\end{pmatrix}$

来源：https://blog.csdn.net/universe_1207/article/details/99285278