极值的概念
函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极小值，是指当 \(x\) 在 \(x_0\) 点及其附近 \(|x - x_0| < \varepsilon\) 时，恒有
\(f(x) \ge f(x_0)\)
若有
\(f(x) \leq f(x_0)\)
则称函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点取极大值。
函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即
\(f'(x) = 0\)
泛函的极值必要条件
仿照函数极值必要条件的到处方法，得到泛函取得极值的必要条件。 首先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：
\(y(x_0) = a, \qquad y(x_1) = 0\)
即
\(\delta y(x_0) = 0, \qquad \delta y(x_1) = 0\)
考虑泛函的差值
\[J[y + \delta y] - J[y] = \int^{x_1}_{x_0} [ F(x, y + \delta y, y' + (\delta y)') - F(x, y, y')] dx\]
当函数的变分 \(\delta y\) 足够小时，可将上式进行泰勒展开，有
\[\begin{align} J[y + \delta y] - J[y] &= \int^{x_1}_{x_0} \left\{ [\delta y \frac{\partial}{\partial y} + (\delta y)' \frac{\partial}{\partial y'}]F + \frac{1}{2!} [\delta y \frac{\partial}{\partial y} + (\delta y)' \frac{\partial}{\partial y"}]^2 F + \cdots \right\} dx\\ &= \delta J[y] + \frac{1}{2!} \delta^2 J[y] + \cdots \end{align} \]
其中，
\[\delta J[y] \equiv \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y + \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y)']dx\]
是泛函 \(J[y]\) 的一级变分。
泛函 \(J[y]\) 取极小值的必要条件是泛函的一级变分为 0，即：
\[\delta J[y] \equiv \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y + \frac{\partial F}{\partial y'}(\delta y)']dx = 0\]
将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，有
\[\begin{align}
\delta J[y] &= \frac{\partial F}{\partial y'} \delta y|^{x_1}_{x_0} + \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} \delta y - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y]dx \\
&= \int^{x_1}_{x_0} [\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'}] \delta y dx = 0
\end{align}
\]
由于 \(\delta y\) 的任意性，可以得到
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0\]
这个方程为 Euler-Lagrange 方程，它是泛函 \(J[y]\) 取得极小值的必要条件的微分形式。
数学知识补充
泰勒展开
分部积分