数学建模系列：层次分析

前言

主要是通过matlab求解微分方程的实例，先来看一个小小问题：
\[ x^2+y+(x-2y)y^{'}=0 \]
可以通过matlab的dsolve函数求得通解,两行代码就能够解决问题，关于dsolve的具体用法，参考官方文档的介绍

clc,clear
syms x  %定义符号变量
y=dsolve('x^2+y+(x-2*y)*Dy==0','x')

%运行结果
% y =
  
%  x/2 + ((4*x^3)/3 + x^2 + C1)^(1/2)/2
%  x/2 - ((4*x^3)/3 + x^2 + C1)^(1/2)/2
% C1是常数

问题一

求解常微分方程组的通解

代码：

clc,clear
syms f(x) g(x)
[f1,g1]=dsolve('D2f+3*g==sin(x)','Dg+Df==cos(x)');
f1=simplify(f1)  %化简
g1=simplify(g1)

% 运行结果
% f1 =
  
% C2 - sin(x)/3 + t*cos(x) + (3^(1/2)*C3*exp(3^(1/2)*t))/3 - (3^(1/2)*C4*exp(-3^(1/2)*t))/3


% g1 =
%  
% sin(x)/3 - (3^(1/2)*C3*exp(3^(1/2)*t))/3 + (3^(1/2)*C4*exp(-3^(1/2)*t))/3

初值条件：
\[ f^{'}(2)=0,f(3)=3,g(5)=1 \]
求特解：

clc,clear
syms f(x) g(x)
[f2,g2]=dsolve('D2f+3*g==sin(x)','Dg+Df==cos(x)','Df(2)==0','f(3)==3','g(5)==1');
f2=simplify(f2)
g2=simplify(g2)

问题二

求解非齐次线性微分方程组：
\[ X'=AX+f(t),X(t_0)=X_0 \]
的解为：
\[ X(t)=e^{A(t-t_0)}X_0+\int_{t_0}^{t} e^{A(t-s)}f(s)ds \]

clc,clear 
syms x(t) y(t) z(t) 
X=[x;y;z]; 
A=[1,0,0;2,1,-2;3,2,1]; 
B=[0;0;exp(t)*cos(2*t)]; 
X0=[0;1;1]; %初值条件
X=dsolve(diff(X)==A*X+B,X(0)==X0); 
X=simplify([X.x;X.y;X.z]) 

% 运行结果
% X =
 
%                                                    0
%   -(exp(t)*(2*sin(2*t) - 2*cos(2*t) + t*sin(2*t)))/2
%  (exp(t)*(4*cos(2*t) + 5*sin(2*t) + 2*t*cos(2*t)))/4

问题四：层次分析法（AHP）

主要用于解决评价类的问题，比如今天吃什么，明天去哪里旅游这类的。具体的开始通过案例来学习了解，更专业的介绍很多数模的书上都有，就不再此过多说明。

案例：Alice思考今天中午去哪里吃饭，有四家店A（饺子馆）、B（川菜馆）、C（KFC）、D（日料）可供选择。Alice考虑的重点因素有味道、环境、价格、服务。那么应该选择那家店享用今日的午餐呢？

1、建立层次结构模型

2、构造判断矩阵

3、层次但排序及其一致性检验

4、层次总排序及其一致性检验

建立层次结构模型

构造判断矩阵

准则层

准则层	B1 味道	B2 价格	B3 环境	B4 服务
B1 味道	1	3	2	1/2
B2 价格	1/3	1	1/2	1/4
B3 环境	1/2	2	1	1/3
B4 服务	2	4	3	1

方案层

B1 味道	A	B	C	D	B2 价格	A	B	C	D
A	1	1/2	2	1/3	A	1	5	3	6
B	2	1	5	3	B	1/5	1	1/2	4
C	1/2	1/5	1	1/4	C	1/3	2	1	5
D	3	1/3	4	1	D	1/6	1/4	1/5	1
B3 环境	A	B	C	D	B4 服务	A	B	C	D
A	1	1/2	1/2	1/4	A	1	1/4	1/3	1/6
B	2	1	1/3	1/3	B	4	1	3	1/3
C	2	3	1	1/2	C	3	1/3	1	1/5
D	4	3	2	1	D	6	3	5	1

Matlab求解

clc,clear
% 读取txt中原始数据
data = fopen('1.txt','r');
% 准则数量
n1=4;
%方案数量
n2=4;
a=[];
for i=1:n1
%str2num:把字符串转换成数
%fgetl:用于从文件中读取一行数据，并丢弃行末的换行符
    temp=str2num(fgetl(data));
    % 准则层判断矩阵
    a=[a;temp];
end
for i=1:n1
%ins2str:整形转换成字符串
% eval:将括号内的字符串视为语句并运行
    str1=char(['b',int2str(i),'=[];']);
    str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';temp];']);
    eval(str1);
    for j =1:n2
        temp=str2num(fgetl(data));
        %读方案层判断矩阵
        eval(str2);
    end
end
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45];%一致性指标
% eig:计算矩阵的特征值和特征向量
% 返回矩阵A特征值的对角矩阵 y 和矩阵 x
[x,y]=eig(a);

% 返回 y 的主对角线元素的列向量的最大值
lamda=max(diag(y));
% find:查找非零元素的索引和值
num=find(diag(y)==lamda);
w0=x(:,num)/sum(x(:,num));
% 准则层一致性检验
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)
if cr0<0.10
    disp('通过一致性检验!');
end
for i=1:n1
    [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)])));
    lamda=max(diag(y));
    num=find(diag(y)==lamda);
    w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));
    % 方案层一致性检验
    cr1=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);
end
cr1
if cr1<0.10
    disp('通过一致性检验!');
end
% ts:准则层权重 cr：方案总权重
ts=w1*w0,cr=cr1*w0

运行结果：

cr0 = 0.0115 < 0.1
cr1 = 0.0545 < 0.1
ts =
    0.1423
    0.2909
    0.1468
    0.4200
cr =
    0.0151
    0.0052
    0.0087
    0.0255

所以Alice应该选择去吃日料

来源：https://www.cnblogs.com/CH42e/p/11961427.html