1. Overview
Adaptive softmax算法在链接1中的论文中提出，该算法目的是为了提高softmax函数的运算效率，适用于一些具有非常大词汇量的神经网络。
在NLP的大部分任务中，都会用到softmax,但是对于词汇量非常大的任务，每次进行完全的softmax会有非常大的计算量，很耗时(每次预测一个token都需要O(|V|)的时间复杂度)。
所以paper中提出adaptive softmax来提升softmax的运算效率。
1) 该算法的提出利用到了单词分布不均衡的特点(unbalanced word distribution)来形成clusters, 这样在计算softmax时可以避免对词汇量大小的线性依赖关系，降低计算时间；
2) 另外通过结合现代架构和矩阵乘积操作的特点，通过使其更适合GPU单元的方式进一步加速计算。
2. Introduction
2.1 一般降低softmax计算复杂度的两种方式
1) 考虑原始分布：近似原始概率分布或近似原始概率分布的子集
2) 构造近似模型，但是产生准确的概率分布。比如：hierarchical softmax.
(上述两个方法可以大致区分为：一是准确的模型产生近似概率分布，二是用近似模型产生准确的概率分布)
2.2 本文贡献点
paper中主要采用的上述(2)的方式，主要借鉴的是hierarchical softmax和一些变型。与以往工作的不同在于，本paper结合了GPU的特点进行了计算加速。主要
1. 定义了一种可以生成 近似层次模型 的策略，该策略同时考虑了矩阵乘积运算的计算时间。这个计算时间并非与矩阵的维数是简单线性关系。
2. 在近来的GPU上对该模型进行了实证分析。在所提出的优化算法中也包含了对实际计算时间模型的定义。
3. 与一般的softmax相比，有2× 到 10× 的加速。这等价于在同等算力限制下提高了准确度。另外一点非常重要，该paper所提出的这种高效计算的方法与一些通过并行提高效率的方法相比，在给定一定量的training data下，对准确度并没有损失。
3. Adaptive Softmax
3.1 矩阵乘积运算的计算时间模型
hidden states: (B × d); Word representation: (d × k); 这两个矩阵的乘积运算时间: g(k, B)。其中B是batch size, d: hidden layer 的size, k vectors的数量。
(1) 固定B,d, 探究k值大小与g(k)的关系：
在K40、 M40两种GPU model中进行实验，发现k在大约为$k_0 \approx 50$的范围之内，g(k)是常数级别的，在$k > k_0$后，呈线性依赖关系。其计算模型为：
同样的，关于B的计算时间的函数也呈现这样的关系。这可以表示，矩阵相乘时，当其中一个维度很小时，矩阵乘法是低效的。
如何理解呢？比如对于 $k_1 = 2^2$, $k_2 = 2^4$，它们均在同样的常量时间内完成运算，那么显然对于$k1$量级有算力被浪费了。
那么这也说明，一些words的层次结构，其每个节点只具有少量的子节点(比如huffman 编码的tree)，是次优的。
(2) 探究batch size B值大小与g(B)的关系：
同样的，当探究计算用时与batch size $B$，的关系时，发现在矩阵乘法运算中，其中一个维度很小时计算并不高效。因此会导致：
(i) 在层次结构中，因为每个节点只有少数一些孩子节点 (比如Huffman 树)，其计算效率是次优的；
(ii) 对于按照词频划分clusters后，那些只包含稀有词的cluster，被选择的概率为p, 并且其batch size也缩减为 $p B$，也会出现以上所述的低效的矩阵乘积运算问题。
(3) 本文的计算模型
所以paper中综合考虑了k与B，提出了下面的计算模型：
对于Adaptive Softmax， 其核心思想是根据词频大小，将不同词频区间的词分为不同的clusters，按照词频高的优先访问的原则，来对每个cluster整体，进而对cluster中的每个词进行访问，进行softmax操作。
那么paper中首先以2个clusters为例，对该模型进行讲解，之后推广到多个clusters的一般情况。
3.2 Two-Clusters Case
根据Zipf定律，在Penn TreeBank中 20%的词，可以覆盖一般文档中87%的出现过的词。
直观地，可以将字典$V$中的词分为$V_h$、$V_t$两个部分。其中$V_h$表示高频词集合(head)，$V_t$表示低频词集合(tail)。一般地，$|V_h| << |V_t|$，$P(V_h) >> P(V_t)$。
(1) Clusters 的组织
直观地可以想到对于这两个clusters有两种组织方式：(i) 两个clusters都是2层的树结构，(ii) 将head部分用一个短列表保存，对tail部分用二层树结构。何种方式更优可以就其计算效率和准确率进行比较：
在准确率方面，(i) 较之 (ii) 一般有 5 ~ 10 %的下降。原因如下：
对于属于cluster $c$的每个词$w$的概率计算为：
若采用(i): $P(c | h) * P(w | c, h)$
若采用(ii): 对于高频词head部分可以直接计算获得 $P(w | h)$，其更为简单直接。
因此，除非(i)(ii)的计算时间有非常大的差别，否则选择(ii)的组织方式。
(2) 对计算时间的缩短
图2. Two clusters示意图
如图2所示，$k_h = |V_h|, k_t = k - k_h, p_t = 1 - p_h$
(i) 对于第一层：对于batch size 为B的输入，在head中对$k_h$个高频词以及1个单位的二层cluster的向量（加阴影部分），共$k_h + 1$个向量，做softmax，
这样占文档中$p_h$的词可以基本确定下来，在head 的 short list 部分找到对应的单词；
而如果与阴影部分进行softmax值更大，表明待预测的词，在第二层的低频词部分；
第一层的计算开销为：$g(k_h + 1, B)$
(ii) 在short list 中确定了 $p_h × B$ 的内容后，还剩下 $p_t B$的输入需要在tail中继续进行softmax来确定所预测的词。
第二层中需要对$k_t$个向量做softmax；
第二层的计算开销为：$g(k_t, pB)$
综上，总的计算开销为：$$C = g(k_h + 1, B) + g(k_t, p_t B)$$
相比于最初的softmax，分母中需要对词典中的每个词的向量逐一进行计算；采用adaptive softmax可以使得该过程分为两部分进行，每部分只需对该部分所包含的词的向量进行计算即可，降低了计算用时。
论文中的Figure 2显示了，对于$k_h$的合理划分，最高可以实现相较于完全softmax的5x加速。
(3) 不同cluster的分类器能力不同
由于每个cluster基本是独立计算的，它们并不要求有相同的能力(capacity)。
一般可以为高频词的cluster予以更高的capacity，而可以适当降低词频词的cluster的capacity。因为低频词在文档中很少出现，因此对其capacity的适当降低并不会非常影响总体的性能。
在本文中，采取了为不同的clusters共享隐层，通过加映射矩阵的方式降低分类器的输入大小。一般的，tail部分的映射矩阵将其大小从$d$维缩小到$d_t = d / 4$维。
3.3 一般性情况
在3.2中以分为2个cluster为例，介绍了adaptive softmax如何组织并计算的，这里将其拓展为一般情况，即可以分为多个clusters时的处理方式。
假设将整个词典分为一个head部分和J个词频词cluster部分，那么有：
$$V = V_h \cup V_1 ... V_j, V_i \cap V_j = \phi$$
其中$V_h$在第一层，其余均在第二层，如图Figure 3所示。
每个cluster中的词向量的数目为$k_i = |V_i|$，单词$w$属于某个cluster的概率为：$p_i = \sum_{w \in V_i} p(w)$.
那么，
计算head部分的时间开销为：$C_h = g(J + k_h, B)$
计算每个二层cluster的时间开销为：$\forall_i, C_i = g(k_i, p_i B)$
那么总的时间开销为：$C = g(J + k_h, B) + \sum_i g(k_i, p_i B) \tag8$
回顾公式(7):
$$g(k,B) = max(c + \lambda k_0 B_0, c + \lambda k B) \tag7$$
这里有两部分，一个是常数部分$c + \lambda k_0 B_0$，一个是线性变换部分$c + \lambda k B$。
通过3.1可知，在常数部分GPU的算力并未得到充分利用，因此应尽量避免落入该部分。那么需要满足：
$kB \geq k_0B_0$，这样在求max时，可以利用以上的第二部分。
将(8)式代入(7)的第二部分得：
那么接下来的目标就是根据(10) 以最小化时间开销C.
在(10)中，$J ,B$是固定的，那么可以重点关注$\sum_i p_ik_i$与$k_h$。
(1) $\sum_i p_ik_i$
假设$p_{i + j} = p_i + p_j$, 那么 $p_jk_j = (p_{i + j} - p_i) k_j$
$p_ik_i + p_jk_j = p_i(k_i - k_j) + p_{i + j}k_j \tag{11}$
假设$k_i > k_j, p_{i + j}$， $k_j$均固定，那么(11)中只有$p_i$可变，可以通过减小$p_i$的方式使(11)式减小。=> 也即$k_i > k_j$ 且 $p_i$尽量小，即包含越多词的cluster，其概率越小。
(2) $k_h$
减小$k_h$可以使(10)式减小。 => 即为可以使高频词所在的cluster包含更少的词。
综上，给定了cluster的个数J，与batch size B，可以通过给大的cluster分配以更小的概率降低时间开销C.
另外paper中讲到可以用动态规划的方法，在给定了J后，对$k_i$的大小进行划分。
cluster的划分个数$J$。paper中实验了采用不同的J所导致的不同计算时间。如图Figure 4所示。虽然在$10 ~ 15$区间内效果最好，但$ > 5$之后效果没有非常明显的提升。所以文中建议采用2~5个clusters。
实验主要在text8, europarl, one billion word三个数据集上做的，通过比较ppl发现，adaptive softmax仍能保持低的ppl，并且相比于原模型有2x到10x的提速。
参考链接：
1. Efficient softmax approximation for GPUs: https://arxiv.org/pdf/1609.04309.pdf