经典的图像去噪方法都是将噪声建模为加性高斯白噪声（AWGN），而真实图像的噪声并不严格服从AWGN。比如对于RAW图像来说，其噪声分布服从Poisson-Gaussian分布。因此，我们有两种方法来应对这种差别：
根据实际观察到的噪声分布建立新的噪声模型，以此来提出新的去噪方法；
将观察到的噪声分布转化为AWGN，用现有的去噪方法处理；
VST（variance stabilizing transform）就是一种将对信号依赖的噪声变为AWGN的常用方法。VST的目的就是找到一个简单的函数f f f x x x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x )
Anscombe transform可以将一个服从泊松分布（Poisson distribution）的随机变量变为一个近似标准高斯分布。
对于泊松分布，其均值m m m v v v m = v m=v m = v f ( x ) f(x) f ( x ) A : x → 2 x + 3 8 A:x\to 2\sqrt{x+\frac{3}{8}} A : x → 2 x + 8 3
经过变换后，对于足够大的均值，随机变量的方差近似为1；而当均值为0时，方差仍然为0。m m m x x x 2 m + 3 8 − 1 4 m 1 / 2 + O ( 1 m 3 / 2 ) 2\sqrt{m+\frac{3}{8}}-\frac{1}{4m^{1/2}}+O(\frac{1}{m^{3/2}}) 2 m + 8 3 − 4 m 1 / 2 1 + O ( m 3 / 2 1 ) 1 + O ( 1 m 2 ) 1+O(\frac{1}{m^2}) 1 + O ( m 2 1 ) m m m
当在VST域做完去噪后，通过其逆变换（iVST）可以将去噪数据y y y A − 1 : y → ( y 2 ) 2 − 3 8 A^{-1}: y \to \left( \frac{y}{2} \right)^2-\frac{3}{8} A − 1 : y → ( 2 y ) 2 − 8 3
代数逆常常会对估计的均值m m m E [ f ( x ) ∣ m ] = 2 ∑ x = 0 + ∞ ( x + 3 8 ⋅ m x e − m x ! ) E\left[ f(x)|m \right]=2\sum^{+\infty}_{x=0}\left( \sqrt{x+\frac{3}{8}}\cdot \frac{m^xe^{-m}}{x!} \right) E [ f ( x ) ∣ m ] = 2 x = 0 ∑ + ∞ ( x + 8 3 ⋅ x ! m x e − m )
该精确无偏逆的一个闭合形式的近似解为：y → 1 4 y 2 + 1 4 3 2 y − 1 − 11 8 y − 2 + 5 8 3 2 y − 3 − 1 8 y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8} y → 4 1 y 2 + 4 1 2 3 y − 1 − 8 1 1 y − 2 + 8 5 2 3 y − 3 − 8 1
当y y y y → 1 4 y 2 − 1 8 y\to \frac14y^2-\frac18 y → 4 1 y 2 − 8 1
许多数字成像器件的噪声可以被建模为Poisson-Gaussian noise。其中泊松部分表示传感器接受光子的不确定性，其是信号依赖的；高斯部分表示其他信号无关噪声，如热噪声等。对于观察到的每个像素值x ^ \hat{x} x ^ x ^ = a p + n \hat{x}=ap+n x ^ = a p + n
其中，p ∼ P ( y ^ ) p\sim \mathcal{P}(\hat{y}) p ∼ P ( y ^ ) n ∼ N ( m , σ ^ 2 ) n\sim \mathcal{N}(m, \hat{\sigma}^2) n ∼ N ( m , σ ^ 2 ) η = x ^ − y ^ \eta = \hat{x}-\hat{y} η = x ^ − y ^
广义Anscombe变换（generalized Anscombe transform， GAT）表示为：f ( x ^ ) = { 2 a a x ^ + 3 8 a 2 + σ ^ 2 − a m , x ^ > − 3 8 a − σ ^ 2 a + m 0 , x ^ ≤ − 3 8 a − σ ^ 2 a + m
\begin{array}{ccc}
f(\hat{x})=\left\{
\begin{aligned}
&\frac{2}{a}\sqrt{a\hat{x}+\frac{3}{8}a^2+\hat{\sigma}^2-am}, &&\hat{x}>-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\
&0, && \hat{x}\leq-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\
\end{aligned}
\right.
\end{array}
f ( x ^ ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ a 2 a x ^ + 8 3 a 2 + σ ^ 2 − a m , 0 , x ^ > − 8 3 a − a σ ^ 2 + m x ^ ≤ − 8 3 a − a σ ^ 2 + m
当a = 1 , σ = 0 , m = 0 a=1, \sigma=0, m=0 a = 1 , σ = 0 , m = 0 x = x ^ − m a , σ = σ ^ a x=\frac{\hat{x}-m}{a}, \sigma=\frac{\hat{\sigma}}{a} x = a x ^ − m , σ = a σ ^
即将原变量x变为一个单位Poisson变量叠加一个均值为0，标准差为σ \sigma σ f σ ( x ) = { 2 x + 3 8 + σ 2 , x > − 3 8 − σ 2 0 , x ≤ − 3 8 − σ 2
\begin{array}{ccc}
f_{\sigma}(x)=\left\{
\begin{aligned}
&2\sqrt{x+\frac{3}{8}+\sigma^2}, &&x>-\frac38-\sigma^2 \\
&0, && x\leq-\frac38-\sigma^2 \\
\end{aligned}
\right.
\end{array}
f σ ( x ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x + 8 3 + σ 2 , 0 , x > − 8 3 − σ 2 x ≤ − 8 3 − σ 2
下图是σ = 0.01 , 1 , 2 , 3 \sigma=0.01,1,2,3 σ = 0 . 0 1 , 1 , 2 , 3 σ > 2 \sigma>2 σ > 2
当高斯噪声部分的标准差σ \sigma σ A σ − 1 ≈ A − 1 − σ 2 A^{-1}_{\sigma} \approx A^{-1}-\sigma^2 A σ − 1 ≈ A − 1 − σ 2
其闭合形式的近似为：y → 1 4 y 2 + 1 4 3 2 y − 1 − 11 8 y − 2 + 5 8 3 2 y − 3 − 1 8 − σ 2 y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}-\sigma^2 y → 4 1 y 2 + 4 1 2 3 y − 1 − 8 1 1 y − 2 + 8 5 2 3 y − 3 − 8 1 − σ 2
当σ \sigma σ y y y A a s y − 1 : 1 4 y 2 − 1 8 − σ 2 A^{-1}_{asy}: \frac14y^2-\frac18-\sigma^2 A a s y − 1 : 4 1 y 2 − 8 1 − σ 2
1、WIkipedia：Variance-stabilizing transformation Wikipedia：Anscombe transform
