Lucas定理和拓展Lucas定理

三世轮回 提交于 2019-12-02 22:11:49

Lucas定理用于求C(n,m)%p,(p为质数),而拓展Lucas定理中,p不一定为质数。

Lucas定理有两种形式,在线算法和离线打表,在线算法适用于p经常改变 或 查询次数较少 的情况,其他情况下用离线打表。

首先是一个在线算法。

 1 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 2 {
 3     ll ans = 1;
 4     a %= m;
 5     while(b)
 6     {
 7         if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
 8         b /= 2;
 9         a = (a % m) * (a % m) % m;
10     }
11     ans %= m;
12     return ans;
13 }
14 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元,p为素数
15 {
16     return pow(x, p - 2, p);
17 }
18 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
19 {
20     if(m > n)return 0;
21     ll up = 1, down = 1;//分子分母;
22     for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
23     for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
24     return up * inv(down, p) % p;
25 }
26 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
27 {
28     if(m == 0)return 1;
29     return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
30 }

然后放一个离线打表的。

 1 const int maxn = 1e5 + 10;
 2 ll fac[maxn];//阶乘打表
 3 void init(ll p)//此处的p应该小于1e5,这样Lucas定理才适用
 4 {
 5     fac[0] = 1;
 6     for(int i = 1; i <= p; i++)
 7         fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
 8 }
 9 ll pow(ll a, ll b, ll m)
10 {
11     ll ans = 1;
12     a %= m;
13     while(b)
14     {
15         if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
16         b /= 2;
17         a = (a % m) * (a % m) % m;
18     }
19     ans %= m;
20     return ans;
21 }
22 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元,p为素数
23 {
24     return pow(x, p - 2, p);
25 }
26 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
27 {
28     if(m > n)return 0;
29     return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
30 }
31 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
32 {
33     if(m == 0)return 1;
34     return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
35 }

但是除了这个我还有一个板子,感觉上应该更快,也没发现什么错的,也放上来吧。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #include<stdint.h>
 3 using namespace std;
 4 #define int long long
 5 #define scan(n) scanf("%lld", &(n))
 6 #define scann(n, m) scanf("%lld%lld", &(n), &(m))
 7 #define scannn(a, b, c) scanf("%lld%lld%lld", &(a), &(b), &(c))
 8 #define prin(n) printf("%lld", (n))
 9 #define pb push_back
10 #define mp make_pair
11 #define ms(a) memset(a, 0, sizeof(a))
12 #define fo(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
13 #define ro(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
14 #define dbg(args...) do {cout << #args << " : "<< args << endl;} 
15 const int inf = 0x3f3f3f3f;
16 const int maxn = 1e5+100;
17 const int mod=1e9+7;
18 int f[maxn],inv[maxn];
19 int qpow(int a,int b){
20     int res=1;
21     while(b){
22         if(b&1)res=res*a%mod;
23         a=a*a%mod;;
24         b>>=1;
25     }
26     return res;
27 }
28 void init(){
29     f[0]=1;
30     for(int i=1;i<=maxn-1;i++)f[i]=f[i-1]*i%mod;
31     inv[maxn-1]=qpow(f[maxn-1],mod-2);
32     for(int i=maxn-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
33 }
34 int C(int n,int m){
35     return f[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
36 }
37 int32_t main() {
38     int f,w,h;
39     cin>>f>>w>>h;
40     int fm=0,fz=0;
41     init();
42     for(int i=1;i<=w;i++){
43         fm+=(C(w-1,i-1)*C(f+1,i))%mod;
44         fm%=mod;
45     }
46     for(int i=1;i<=w/(h+1);i++){
47         fz=fz+C(w-i*h-1,i-1)*C(f+1,i)%mod;
48         fz%=mod;
49     }
50     int ans=fz*qpow(fm,mod-2)%mod;
51     cout<<ans<<endl;
52     return 0;
53 }

拓展Lucas定理,只有在线算法。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 1e6 + 10;
 5 const int mod = 1e9 + 7;
 6 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 7 {
 8     ll ans = 1;
 9     a %= m;
10     while(b)
11     {
12         if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
13         b /= 2;
14         a = (a % m) * (a % m) % m;
15     }
16     ans %= m;
17     return ans;
18 }
19 ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
20 //求解ax+by=gcd(a, b)
21 //返回值为gcd(a, b)
22 {
23     ll d = a;
24     if(b)
25     {
26         d = extgcd(b, a % b, y, x);
27         y -= (a / b) * x;
28     }
29     else x = 1, y = 0;
30     return d;
31 }
32 ll mod_inverse(ll a, ll m)
33 //求解a关于模上m的逆元
34 //返回-1表示逆元不存在
35 {
36     ll x, y;
37     ll d = extgcd(a, m, x, y);
38     return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
39 }
40 
41 ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值  pk为pi的ki次方
42 //算出的答案不包括pi的幂的那一部分
43 {
44     if(!n)return 1;
45     ll ans = 1;
46     if(n / pk)
47     {
48         for(ll i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
49             if(i % pi)ans = ans * i % pk;
50         ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
51     }
52     for(ll i = 2; i <= n % pk; i++)
53         if(i % pi)ans = ans * i % pk;
54     return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
55 }
56 
57 ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
58 {
59     if(m > n)return 0;
60     ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
61     ll k = 0, ans;//k为pi的幂值
62     for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
63     for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
64     for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
65     ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
66     ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
67     return ans;
68 }
69 
70 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
71 {
72     ll x = p;
73     ll ans = 0;
74     for(ll i = 2; i <= p; i++)
75     {
76         if(x % i == 0)
77         {
78             ll pk = 1;
79             while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;
80             ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
81         }
82     }
83     return ans;
84 }
85 
86 int main()
87 {
88     ll n, m, p;
89     while(cin >> n >> m >> p)
90     {
91         cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
92     }
93     return 0;
94 }

 

标签
易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容,如有违反法律规定的内容欢迎反馈
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!