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求模意义下一个数的乘法逆元有多种方法.
方法1
利用裴蜀定理(扩展欧几里得算法)。
直接解线性方程\(ax+bp=1\), 可知\(a^{-1}=x\).
方法2
利用费马小定理。
对任意素数\(p\), 若\(a<p\), 则 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)
推至\(a^{p-2}\equiv a^{-1}(\mod p)\)
所以使用快速幂算法求得模意义下的\(a^{p-2}\)就可以得到\(a\)的乘法逆元
方法3(线性批量求逆元)
使用了一个巧妙的递推构造.
首先我们知道 \(p=aq+r, 0 \le r < a\), 其中\(q=\lfloor \frac p a\rfloor\)
由此 \(aq+r\equiv 0 (\mod p)\)
由此\(aa^{-1}r^{-1}q + ra^{-1}r^{-1} \equiv 0 (\mod p )\)
由此\(-r^{-1}q\equiv a^{-1}(\mod p)\)
上式中\(r < a\), 所以, 对于一个数, 我们总可以利用比其小的数的逆元推出它的逆元.
又有\(1^{-1} =1\)
由此我们建立了一个线性递推方法.
下面会给出这种方法的程序实现.
/* Problem : [Luogu]P3811 Content : 给定n,p, 求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。 Author : shleodai (blog : www.cnblogs.com/Eroad) */ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long const int maxn = 3e6+5; int inv[maxn], p, n; signed main(){ scanf("%d %d", &n, &p); inv[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - (ll) (p/i) * inv[p%i] % p) % p; for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", inv[i]); return 0; }