线性代数 | (10) 相似对角形

若如初见. 提交于 2019-12-02 14:43:11

目录

1. 矩阵的相似

2. 特征值与特征向量的求法

3. 特征值与特征向量的性质

4. 一般矩阵的相似对角形

5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质

6. 实对称矩阵的相似对角化


1. 矩阵的相似

  • 矩阵的相似

(iv)的证明:

  • 矩阵的特征值和特征向量

2. 特征值与特征向量的求法

由此可见矩阵的k重特征值不一定有k个线性无关的特征向量。

3. 特征值与特征向量的性质

用数学归纳法证明:

上节课的例题:

  • 推论

  • 例题

  • 特征值求法公式

  • 特征值与矩阵的关系

矩阵A的特征值之和=trace(A) 即矩阵A的迹。

  • 练习

 

4. 一般矩阵的相似对角形

  • 矩阵与对角阵相似的条件

推论:若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似,反之不对。

n阶矩阵能够与对角阵相似,取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。

若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似;若矩阵A有重特征值,不能马上断言,这时要看特征向量,实际上,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可。

  • 练习

  • 矩阵相似对角化的方法

  • 矩阵相似对角化的步骤

  • 练习

5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质

  • 性质1

实对称矩阵的特征值都是实数。

证明一个数是实数,就是证明该数的共轭与该数相等。

  • 性质2

实对阵矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。

对于一般矩阵,只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。

  • 性质3

实对阵矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个。

也就是说实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。

注意一般矩阵的k重特征值所对应的线性无关的特征向量不一定有k个,不一定与对角阵相似。

6. 实对称矩阵的相似对角化

  • 例题

  • 用正交阵将实对称矩阵A对角化的步骤

  • 练习

 

 

 

 

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