对角矩阵

山东大学——线性代数: http://www.xuetangx.com/courses/course-v1:SDUx+00931800X+sp/courseware/45412e228fef48e08a937bdebd19a5a0/61676d9b49ce410290738e6bbc5ed468/ 自反性：自己跟自己相似，相似变换矩阵E（单位阵）。 对称性：A和B相似，B与A也相似，相似变换矩阵P -1 传递性：A与B相似，B与C相似，则A与C相似。 B= P 1 -1 AP 1 => C = P 2 -1 BP 2 = P 2 -1 P 1 -1 AP 1 P 2 所以A与C的相似变换矩阵式P 1 P 2 2）相似可以推出等价，而等价不能推出相似。 相似矩阵的秩是相同的。 2）方阵的行列式等于行列式的乘积。P的行列式与P逆行列式的倒数。 3）A=P -1 BP => A -1 = P -1 B -1 p 直接做A的k次幂比较难做，而做A的相似矩阵对角阵的k次幂相对更简单。 将P矩阵拆开，再分别与A矩阵相乘。得到了4与-2，及P矩阵。 而（1，2）矩阵就不能与A（1，2）相乘后的矩阵（5，3）线性相关。 任意给定A，Apha，Beta，Aa=ka，而ABeta != kBeta A与a相乘 来源： https://www.cnblogs.com/tlfox2006/p

#include<stdio.h> int main() { int i,j,N,t=0,n,m,o,p=0; printf("请输入矩阵阶数N："); scanf("%d",&N); A: printf("请输入对角矩阵的带宽n："); scanf("%d",&n); if(n%2==0) { printf("带宽不能为奇数，请重新输入\n"); goto A; } o=(n-1)/2; m=N*N-((N-o)*(N-o-1)); int a[N][N],k[ m]; printf("请以行优先顺序输入%d个元素\n",m); for(i=0;i<N;i++) { for(j=0;j<N;j++) { if(i>j+o||j>i+o) a[i][j]=0; else { scanf("%d",&a[i][j]); k[t]=a[i][j]; t++; } } } t=0; for(i=0;i<N;i++) { for(j=0;j<N;j++) { if(i>j+o||j>i+o) printf("%-5d",p); else { printf("%-5d",k[t]); t++; } } printf("\n"); } return 0; } 来源： CSDN 作者： Forward_- 链接： https://blog.csdn.net/qq_37489906/article

盖尔金圆定理（Gersghorin Circle Thorem）   盖尔金圆定理（Gersghorin Circle Thorem）是线性代数中一个有趣而实用的定理，可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。   （ 盖尔金圆定理 ）对于任意的 n n //--> 阶方阵 A A //--> ，若 λ λ //--> 是 A A //--> 的一个特征值，则存在 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n //--> ,使得 | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . //--> 证明：   若 λ λ //--> 是 A A //--> 的一个特征值，设其特征向量为 x x //--> ，可以选取 i i //--> 使得 | x i | = max j = 1 , 2 , . . . , n | x j | = 1 , | x i | = max j = 1 , 2 , . . . , n | x j | = 1 , //--> 这总是可以做到的，因为特征向量乘上任何数（除0外）仍为特征向量。   根据特征值和特征向量的定义，有 A x = λ x A x = λ x //--> ,因此有： ∑ j = 1 n a i j

DB_Question 　 解决： 　　1、存 　　2、验证 1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 //将小矩阵的值转存在一维数组b中 5 void TurnToB(int a[][16], int b[], int m, int t); 6 //关键的存放算法 7 void CoreStore(int b[], int x, int y, int val, int m); 8 //验证i，j到k是否正确，具体检验k是否能输出 9 void show(int b[], int i, int j, int m); 10 11 int main() 12 { 13 int n = 16, m = 4, t = 4;//以16×16方阵为例 14 int a[16][16]; 15 int b[64];//m*m*t 16 //初始化特殊位置的值 17 a[0][0] = 0, a[0][3] = 3, a[3][0] = 3; 18 a[3][3] = 6, a[7][4] = 11, a[4][7] = 11; 19 a[7][7] = 14, a[8][11] = 19, a[11][8] = 19; 20 a[11][11] = 22, a[12][15] = 27, a[15][12] = 27; 21 a[15]

#include<stdio.h> /*题目:求3*3矩阵对角线之和*/ int main(){ int i,j,k,t; int a[3][3]; while(1){ printf("请依次输入矩阵数字\n"); k=0; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(i==j) k=k+a[i][j]; printf("对角线之和%d ",k); printf("\n________________________________\n"); } return 0; } 来源：博客园 作者： 狗狗王 链接：https://www.cnblogs.com/gougouwang/p/11444216.html

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10152644.html#autoid-4-0-0 https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10156077.html 1 | 0 I. 行列式(Determinants)和迹(Trace) 1 | 1 1. 行列式(Determinants) 为避免和绝对值符号混淆，本文一般使用 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) det(A)来表示矩阵 𝐴 A的行列式。另外这里的 𝐴 ∈ 𝑅 𝑛 × 𝑛 A∈Rn×n默认是方阵，因为只有方阵才能计算行列式。 行列式如何计算的就不在这里赘述了，下面简要给出行列式的各种性质和定理。 定理1 ：当且仅当一个方阵的行列式不为0，则该方阵可逆。 定理2 ：方阵 𝐴 A的行列式可沿着某一行或某一列的元素展开，形式如下: 沿着第 𝑖 i行展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑖 𝑘 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑖 , 𝑘 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iaikdet(Ai,k) 沿着第 𝑖 i列展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑘 𝑖 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑘 , 𝑖 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iakidet(Ak,i) 定理3

目录 1. 矩阵的相似 2. 特征值与特征向量的求法 3. 特征值与特征向量的性质 4. 一般矩阵的相似对角形 5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 6. 实对称矩阵的相似对角化 1. 矩阵的相似 矩阵的相似 (iv)的证明： 矩阵的特征值和特征向量 2. 特征值与特征向量的求法 由此可见矩阵的k重特征值不一定有k个线性无关的特征向量。 3. 特征值与特征向量的性质 用数学归纳法证明： 上节课的例题： 推论 例题 特征值求法公式 特征值与矩阵的关系 矩阵A的特征值之和=trace(A) 即矩阵A的迹。 练习 4. 一般矩阵的相似对角形 矩阵与对角阵相似的条件 推论：若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似，反之不对。 n阶矩阵能够与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。 若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；若矩阵A有重特征值，不能马上断言，这时要看特征向量，实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可。 练习 矩阵相似对角化的方法 矩阵相似对角化的步骤 练习 5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 性质1 实对称矩阵的特征值都是实数。 证明一个数是实数，就是证明该数的共轭与该数相等。 性质2 实对阵矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。 性质3

eye(N, M=None, k=0, dtype=float) 是scipy包中的一个创建特殊矩阵(单位矩阵E)的方法,具体操作很神奇，直接上代码，看一下！ #-*- coding=utf-8 -*- from scipy import * print "--------------3x3 对角为1的矩阵，元素的类型默认为 整型------------------" print eye(3) print "--------------3x3 对角为1的float矩阵------------------" print eye(3,3) print "--------------3x4 对角为1的矩阵------------------" print eye(3,4) print "--------------3x4 对角为1的矩阵------------------" print eye(3,4,0) print "--------------3x3 从第二列对角为1的矩阵------------------" print eye(3,4,1) print "--------------3x3 从第三列对角为1的矩阵------------------" print eye(3,4,2) print "--------------3x3 从第四列对角为1的矩阵-----------