证明：$(g\circ f = e_X)\Rightarrow(g是满射)\wedge(f是单射)$

$(g\circ f = e_X)\Rightarrow(g是满射)\wedge(f是单射)$

1. 假设：$f:X \rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow X$，且$g\circ f = e_X:X\rightarrow X$。
2. 则，$X=e_X(X)=(g\circ f)(X)=g(f(X))\subset g(Y)$，这表明$g$是满射。
3. 此外，如果$x_1\in X$, $x_2\in X$, 则
   $(x_1 \neq x_2)\Rightarrow(e_X(x_1)\neq e_X(x_2))\Rightarrow ((g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2))\Rightarrow (g(f(x_1))\neq g(f(x_2)))\Rightarrow (f(x_1)\neq f(x_2))$,
   所以$f$是单射。

注意上式最后一步的推导，因为函数可以多对1，但不能1对多。
比如：如果$x_1\neq x_2$, 则可能有$f(x_1)=f(x_2)$, 也可能有$f(x_1)\neq f(x_2)$；
但是，如果$f(x_1)\neq f(x_2)$, 则一定有$x_1\neq x_2$。

来源：https://blog.csdn.net/qq_31880107/article/details/102775383