- 斐波那契数列 - 矩阵算法\(O(lgn)\) - 待补充
- 跳台阶 - 经典问题
- 递归 - basic解法，浪费栈空间
- 动态规划 - 常规解法，转移方程可以有很多变化
- 打表 - 按照转移方程提前计算
- 注意：台阶数很多的时候，需要手写大数加法
- 变态跳台阶/观察法
- 跳石板/动态规划
- 爬楼梯/大数跳台阶
- 爬楼梯2/大数加法
变态跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法 \(2^{n-1}\)
思路
- 思路1
- 青蛙一次可以跳1~n之间的台阶数，考虑如下情况
- 青蛙一次跳n阶，则1~n-1的所有台阶均不经过
- 青蛙第一次跳n-1阶，第二次跳1阶，等价于仅选中n-1阶
- 所以，观察可得，每种跳台阶方案都对应了1~n-1中的唯一一组选择
- 1~n-1共n-1级台阶，每级台阶都有选or不选两种情况
- 总的跳法数目为\(2^{n-1}\)
- 青蛙一次可以跳1~n之间的台阶数，考虑如下情况
- 思路2
- \(f(n-1)=2^{n-2}\) 数学归纳法
- \(f(n)=1+f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(2)+f(1)\)
- \(f(n)=2^{n-1}\)
跳石板
小易来到了一条石板路前，每块石板上从1挨着编号为：1、2、3.......
这条石板路要根据特殊的规则才能前进：对于小易当前所在的编号为K的 石板，小易单次只能往前跳K的一个约数(不含1和K)步，即跳到K+X(X为K的一个非1和本身的约数)的位置。 小易当前处在编号为N的石板，他想跳到编号恰好为M的石板去，小易想知道最少需要跳跃几次可以到达。
例如：
N = 4，M = 24：
4->6->8->12->18->24
于是小易最少需要跳跃5次，就可以从4号石板跳到24号石板
思路
状态转移
\(steps[i+j]=min(steps[i]+1,steps[i+j])\)
\(steps[i+i/j]=min(steps[i]+1,steps[i+i/j])\)
注意这里对约数的处理很巧妙，j from 2 to i^(1/2)
代码
#include<iostream>
#include<climits> //INT_MAX,INT_MIN等
#include<cmath> //min，max等函数
#include<vector>
using namespace std;
int main(){
int N,M;
while(cin>>N>>M){
vector<int> steps(M+1,INT_MAX);
steps[N]=0;
for(int i=N;i<=M;i++){
if(steps[i]==INT_MAX)
continue;
//快速计算i的约数
for(int j=2;(j*j)<=i;j++){
if(i%j==0){
if(i+j<=M){
steps[i+j]=min(steps[i]+1,steps[i+j]);
}
if(i+i/j<=M){
steps[i+i/j]=min(steps[i]+1,steps[i+i/j]);
}
}
}
}
if(steps[M]==INT_MAX){
steps[M]=-1;
}
cout<<steps[M]<<endl;
}
}
爬楼梯
题目描述
在你面前有一个n阶的楼梯，你一步只能上1阶或2阶。
请问计算出你可以采用多少种不同的方式爬完这个楼梯。
输入描述:
一个正整数n(n<=100)，表示这个楼梯一共有多少阶
输出描述:
一个正整数，表示有多少种不同的方式爬完这个楼梯
思路
不愧是校招题目，大坑在数据范围，unsigned long long不够用，需要手写大数加法
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
int num[103][30]={0};//二维数组的初始化，int数组进行大数加法
num[1][29]=1;
num[2][29]=2;
for(int i=3;i<=100;i++){
//从低位向高位计算
int carry=0;//进位初始设置为0
for(int j=29;j>=0;j--){
num[i][j]=(num[i-1][j]+num[i-2][j]+carry)%10;
carry=(num[i-1][j]+num[i-2][j]+carry)/10;
}
}
int j=0;
while(num[n][j]==0)
j++;
for(int i=j;i<30;i++)
cout<<num[n][i];
cout<<endl;
}
爬楼梯2
题目描述
在你面前有一个n阶的楼梯(n>=100且n<500)，你一步只能上1阶或3阶。
请问计算出你可以采用多少种不同的方式爬完这个楼梯（到最后一层为爬完）。
输入描述:
一个正整数，表示这个楼梯一共有多少阶
输出描述:
一个正整数，表示有多少种不同的方式爬完这个楼梯
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int len=99;
int num[501][100];//这里大数的位数会很高，用len+1表示
int main(){
num[1][len]=1;
num[2][len]=1;
num[3][len]=2;
for(int i=4;i<500;i++){
int carry=0;
for(int j=len;j>=0;j--){
num[i][j]=(num[i-1][j]+num[i-3][j]+carry)%10;
carry=(num[i-1][j]+num[i-3][j]+carry)/10;
}
}
int n;
cin>>n;
int j=0;
while(num[n][j]==0)
j++;
for(;j<=len;j++){
cout<<num[n][j];
}
cout<<endl;
}