【每日一练】最长斐波那契子序列

题目描述：

给定一个数组，找出其中最长的子序列，满足该子序列是斐波那契子序列

注：
如果序列 $X_1, X_2, ..., X_n$ 满足下列条件，就说它是斐波那契式的：

n >= 3
对于所有 i + 2 <= n，都有 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$

思路：

本题一开始想岔了，一直以为Fibonacci数列必须是严格按照{1，1，2，3，5，8……}的顺序的数组，后来才知道只要满足上式均可。

方法一：暴力算法，由于F数列每个数的生成只依赖前两个数，假设以x = a[i]，y = a[j]为序列起始，只需计算下一个数字P = x + y，并判断P是否存在后续数组中。每次更新x，y $\leftarrow$ y，P。

class Solution(object):
    def lenLongestFibSubseq(self, A):
        ans = 0
        n = len(A)
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                x, y = A[j], A[i] + A[j]
                length = 2
                while y in A[j+1: n]:
                    x, y = y, x + y
                    length += 1
                ans = max(ans, length)
        return ans if ans >= 3 else 0

方法一有三重嵌套循环，所以时间复杂度为 $O(n^2log^m)$ ，其中m是序列A中最大值。对于严格递增序列，可以使用set保存序列中元素，快速判断目标值P是否存在于数组中，是时间复杂度降到 $O(n^2)$ ，严格递增的条件限制可以保证“如果目标值P存于在数组中，那么这个目标值一定在起始值x，y的后面”，

方法二：动态规划。我们将(a[i],a[j])， (a[j], a[k])都看做结点，假如满足a[k] = a[i] + a[j]，那么我们认为两个结点之间是连通的。那么对于一个F序列[1,2,3,5,8,13]，相当于存在一条完整路径(1,2)→(2,3)→(3,5)→(5,8)→(8,13)。

假设dp[i][j]是以(a[i], a[j])为最后结点的路径长度，那么当存在数值a[k] = a[i] + a[j]时，(a[j],a[k])可以加入这条路径，并且路径长度加1，即满足：
$dp[j][k] = dp[i][j] + 1$ if $a[k] = a[i] + a[j]$ 且 $k > j$
$dp[j][k] = 2$ otherwise

class Solution(object):
    def lenLongestFibSubseq(self, A):
    	# 建立倒排字典
        index = {x: i for i, x in enumerate(A)}
        longest = collections.defaultdict(lambda: 2)

        ans = 0
        for k, z in enumerate(A):
            for j in range(k):
                i = index.get(z - A[j], None)
                if i is not None and i < j:
                    cand = longest[j, k] = longest[i, j] + 1
                    ans = max(ans, cand)

        return ans if ans >= 3 else 0

方法三：对于非严格递增序列，存在重复数值，例如[0，1，1，2]，不能简单的使用dict保存下标，因此采用collections中的默认字典来保存每个数值出现的所有位置。

def lenLongestFibSubseq(A):
    import collections
    n = len(A)
    index = collections.defaultdict(list)
    for i in range(n):
        index[A[i]].append(i)
    longest = collections.defaultdict(lambda: 2)

    ans = 0
    for k, z in enumerate(A):
        for j in range(k):
            # 找到前面所有满足条件的数字下标
            i_index = index.get(z - A[j], [])
            if i_index:
                m = len(i_index)
                # 最近原则，取离j最近的下标
                for i in range(m-1, -1, -1):
                    if i_index[i] < j:
                        cand = longest[j, k] = longest[i_index[i], j] + 1
                        ans = max(ans, cand)
                        break
    return ans if ans >= 3 else 0

来源：https://blog.csdn.net/qq_20141867/article/details/82707122

标签

斐波那契