博弈论
这真的是很神奇呢
注：这里引用了大量他人的博客，再次不一一说明，主要是为了学习
定义
博弈论又被称为对策论(Game Theory)既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。
博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。
博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。
基本概念中包括局中人、行动、信息、策略、收益、均衡和结果等。其中局中人、策略和收益是最基本要素。局中人、行动和结果被统称为博弈规则。
其实这里没有什么用
引入
我们就用鼎鼎大名的Nim游戏来进行讲解
那我现在就进行简单的说明吧
我会尽量用通俗易懂的话来说明
题目大意：
总有n堆石子，每堆有若干个石子 从A开始每次轮流从一堆石子中抽出若干个(可以全抽) 但是不能不拿 要不然没完没了。。。 看最后轮到谁没有石子可以抽，那么他就输了 并且两个人都聪明绝顶
解析：
我们可以先手模一下发现
如果只有一堆那么先手一定赢
如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等，以后如果对手在某一堆里拿若干颗，你就可以在另一堆中拿同样多的颗数，直至胜利。
如果你面对的是两堆相等的石子，那么此时你是没有任何必胜策略的，反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。
是不是很好理解
但是三个的话就要考虑更多的情况
我们定义P局面和N局面
P局面表示上一次移动的人必胜的局面(即后手必胜)
N局面表示现在移动的人必胜的局面(即先手必胜)
我们可以理解为：
1.无法进行任何移动的局面（也就是结束）是P； 2.可以移动到P的局面是N； 3.所有移动都导致N的局面是P。
好像有些难以理解？
好那让我再简单说一下
1代表的意思就是先手必败； 2代表的是移动到P的局面之前一定是N； 3代表的是移动到N的局面之前一定是P；
这样的话，如果在不重复的前提下
那么每个局面我们一定是可以计算出来的
比如刚才说当只有两堆石子且两堆石子数量相等时后手有必胜策略，也就是这是一个P，下面我们依靠定义证明一下(3,3)是一个P是一个P是一个P首先(3,3)的子局面（也就是通过合法移动可以导致的局面）有(0,3)(1,3)(2,3)（显然交换石子堆的位置不影响其性质，所以把(x,y)和(y,x)看成同一种局面），只需要计算出这三种局面的性质就可以了。(0,3)的子局面有(0,0)、(0,1)、(0,2)，其中(0,0)显然是P，所以(0,3)是N（只要找到一个是P的子局面就能说明是N）(1,3)的后继中(1,1)是P（因为(1,1)的唯一子局面(0,1)是N），所以(1,3)也是N。同样可以证明(2,3)是N。所以(3,3)的所有子局面都是N，它就是P。再通过一点简单的数学归纳，可以严格的证明“有两堆石子时的局面是P当且仅当这两堆石子的数目相等”。
好的现在我们来总结一下：
根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题：
1、这个判断将所有结束局面判为P； 2、根据这个判断被判为N的局面一定可以移动到某个P； 3、根据这个判断被判为P的局面无法移动到某个P。
第一个命题显然，结束局面只有一个，就是全0，则^起来也是0
第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。
第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。
那么我们就可以得出一个结论：
对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P当且仅当a1^a2^...^an=0
然后上代码！！！
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10001000;
int t;
int n;
int a[maxn];
int main(){
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++) sum^=a[i];
if(sum==0) cout<<"No\n";
else cout<<"Yes\n";
}
}