正交变换

文章目录

• 正交变换
• 正交变换的等价命题
• 证明
• ①$\Rightarrow$②
• ②$\Rightarrow$①
• ①$\Rightarrow$③
• ③$\Rightarrow$①
• ③$\Rightarrow$④
• ④$\Rightarrow$③
• 第一类与第二类正交变换

正交变换

• 欧式空间V中的线性变换$\mathscr{A}$若能保持向量的内积不变，则称这样的变换为正交变换，即对$\forall\alpha,\beta\in V$，满足$(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\beta})=(\alpha,\beta)$

正交变换的等价命题

• $\mathscr{A}$是欧式空间V中的线性变换，则以下命题是等价的
  • ①$\mathscr{A}$是正交变换
  • ②$\mathscr{A}$保持向量长度不变，即$|\mathscr{A}\alpha|=|\alpha|$
  • ③若$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$是标准正交基，则$\mathscr{A\varepsilon_1},\mathscr{A\varepsilon_2},...,\mathscr{A\varepsilon_n}$也是标准正交基
  • ④$\mathscr{A}$在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵

证明

• ①$\Rightarrow$②

  • 由定义得$(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\alpha})=(\alpha,\alpha)$易得

• ②$\Rightarrow$①

  • 由于$(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\alpha})=(\alpha,\alpha)$ $(\mathscr{A\beta},\mathscr{A\beta})=(\beta,\beta)$ $(\mathscr{A(\alpha+\beta)},\mathscr{A(\alpha+\beta)})=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)\tag{1}$将(1)式展开，得$(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\alpha})+(\mathscr{A\beta},\mathscr{A\beta})+2(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\beta})$ $=(\alpha,\alpha)+(\beta,\beta)+2(\alpha,\beta)$ $\Rightarrow$ $(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\beta})=(\alpha,\beta)$

• ①$\Rightarrow$③

  • 设$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$是一组标准正交基，则有$(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$若$\mathscr{A}$是正交变换，则有$(\mathscr{A\varepsilon_i},\mathscr{A\varepsilon_j})=(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$所以$\mathscr{A\varepsilon_1},\mathscr{A\varepsilon_2},...,\mathscr{A\varepsilon_n}$也是标准正交基

• ③$\Rightarrow$①

  • 设$\alpha=x_1\varepsilon_1+...+x_n\varepsilon_n$ $\beta=y_1\varepsilon_1+...+y_n\varepsilon_n$ 以及$\mathscr{A\alpha}=x_1\mathscr{A\varepsilon_1}+...+x_n\mathscr{A\varepsilon_n}$ $\mathscr{A\beta}=y_1\mathscr{A\varepsilon_1}+...+y_n\mathscr{A\varepsilon_n}$
  • 于是有$(\alpha,\beta)=x_1y_1+...+x_ny_n=(\mathscr{A\alpha},\mathscr{A\beta})$

• ③$\Rightarrow$④

  • 设 $\mathscr{A}$在标准正交基$\varepsilon_1,...,\varepsilon_n$下的矩阵为A
  • 由于$\mathscr{A\varepsilon_1},\mathscr{A\varepsilon_2},...,\mathscr{A\varepsilon_n}$也是标准正交基，因此A可以看做是一组标准正交基到另一组标准正交鸡的过渡矩阵，因而是正定的

• ④$\Rightarrow$③

  • 正交矩阵×正交矩阵=正交矩阵，正交矩阵的列向量是一组标准正交基

第一类与第二类正交变换

• 行列式=1的正交变换——第一类的，旋转
• =-1——第二类的

来源：https://blog.csdn.net/universe_1207/article/details/102718295