总体方差

一、统计学的基本概念 　　统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述： 均值： 标准差： 方差： 　　均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 　　以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合的差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。 二、为什么需要协方差 　　标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集，最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义： 　　来度量各个维度偏离其均值的程度，协方差可以这样来定义： 　　协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的

当C为常数时， V a r ( C ) = 0 Var( C ) = 0 V a r ( C ) = 0 当X是随机变量，C是常数时： V a r ( C X ) = C 2 V a r ( X ) , V a r ( C + X ) = V a r ( X ) Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X) V a r ( C X ) = C 2 V a r ( X ) , V a r ( C + X ) = V a r ( X ) 设X与Y是随机变量， V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) V a r ( X − Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) V a r ( X − Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) 其中，协方差是 C o v ( X , Y ) = E [ ( X −

当训练得到一个模型\(f\)时，我们希望\(f\)的泛化能力足够强，这样也代表它对于新的样本有比较好的预测能力。我们会通过实验检验\(f\)的泛化误差，那它的泛化误差到底是由哪几部分贡献？ 这里先给出结论：噪声、偏差与方差。 定义 训练模型的前提是我们能拿到一个数据集\(D\)，它其中包含多个样本，来自同一个分布。但是\(D\)不可能包含这个分布上的所有样本，也就是说\(D\)本身是总体的一个子集。 在总体中取相同数量的样本组成不同的\(D_i\)，用同一个算法训练得到的模型也会不同。所以训练得到的模型针对某一个样本\(x\)的预测值有一个期望的概念。即： \[ \begin{equation} \overline{f}(\boldsymbol{x})=\mathbb{E}_{D}[f(\boldsymbol{x} ; D)] \end{equation} \] 这里\(D\)是来自同一个分布样本数量相同的不同训练集，它是一个变量的概念。不同的\(D_i\)训练得到不同的模型\(f_i\)。使用它们预测\(x\)，再对预测的值取期望就是(1)式的含义。\(\overline{f}(\boldsymbol{x})\)是模型对样本\(x\)预测的期望值。 所以也就有一个 方差 的概念，即不同模型\(f_i\)对于\(x\)的预测值的波动情况。如果是回归任务的话

统计学：参数估计 概念 1.利用总体统计不方便甚至是无法完成的现实状况，采用抽样的方式，利用样本提供的信息来推断总体的特征。 2.点估计：point estimate, 用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估值。 但一个点估计值的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量。 当围绕点估计值构造总体参数的一个区间，这就是区间估计。 3.区间估计：interval estimate ,在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。 根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。 在区间估计中，由样本统计量所构成的总体参数的估计区间称为置信区间，其中区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。 置信水平：将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例，称为置信水平 confidence level ，也称为置信度或置信系数。 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包括总体参数的真值，那么用该方法构造的区间称为置信水平位95%的置信区间。 评价估计量的标准 🔽无偏性：指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。 设 总 体 参 数 位 θ , 所 选 择 的 估 计 量 为 θ ⃗ , 如 果 E

总体方差 ，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差： ，其中， 为总体的均值， 为总体的标准差， 为总体的样本数。 样本方差， 无偏方差，在实际情况中，总体均值 是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下： 或者 ，其中， 为样本的均值， 为样本的标准差， 为样本的个数。 实际操作中，我们一般通过抽样来验证总体。就会面临以下两种情况： （总体的均值）已知 即无偏估计，方差 （总体的均值）未知 即有偏估计，此时， 如果直接使用 作为估计，那么你会倾向于低估方差！ 这是因为 换言之，除非正好 ，否则我们一定有 ,而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！ 那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母 换成 ，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了： 那么，至于为什么分母是 而不是 或者别的什么数呢？ 即证明 来源： CSDN 作者： 虾nen nen 链接： https://blog.csdn.net/huangguohui_123/article/details/103547309

总体样本方差的无偏估计样本方差为什么除以n-1 本文链接： https://blog.csdn.net/qq_16587307/article/details/81328773 我们先从最基本的一些概念入手。 如下图，脑子里要浮现出总体样本 ，还有一系列随机选取的样本 。只要是样本，脑子里就要浮现出它的集合属性，它不是单个个体，而是一堆随机个体集合。样本 是总体样本中随机抽取一系列个体组成的集合，它是总体样本的一部分。 应该把样本 和总体样本 一样进行抽象化理解，因此样本 也存在期望 和方差 。 这里有一个重要的假设，就是随机选取的样本 与总体样本同分布，它的意思就是说他们的统计特性是完全一样的，即他们的期望值一样，他们的方差值也是一样的： 另外，由于每个样本的选取是随机的，因此可以假设 不相关(意味着协方差为0，即 )，根据方差性质就有: 另外，还需要知道方差另外一个性质： 为常数。 还有一个，别忘了方差的基本公式： 以上的公式都很容易百度得到，也非常容易理解。这里不赘述。 2）无偏估计 接下来，我们来理解下什么叫无偏估计。 定义 ：设统计量 是总体中未知参数 的估计量，若 ，则称 为 的 无偏估计量 ；否则称为有偏估计量。 上面这个定义的意思就是说如果你拿到了一堆样本观测值，然后想通过这一堆观测值去估计某个统计量 ，一般就是想估计总体的期望或方差

几种常见的假设检验总结如下： 假设检验名称 Z检验 t检验 χ2检验 F检验 原假设 H 0 : μ≥μ 0 H 0 : μ≤μ 0 H 0 : μ=μ 0 （样本和总体均值） H 0 : μ 1 -μ 2 ≥0 H 0 : μ 1 -μ 2 ≤0 H 0 : μ 1 -μ 2 =0 （两总体均值） H 0 : μ d ≥0 H 0 : μ d ≤0 H 0 : μ d =0 （两总体前后差值均值） H 0 : σ 2 ≥σ 0 2 H 0 : σ 2 ≤σ 0 2 H 0 : σ 2 =σ 0 2 （样本和总体方差） H 0 : σ 1 2 ≤σ 2 2 H 0 : σ 1 2 =σ 2 2 （两总体方差，即方差齐性） H 0 : 两类别型变量相互独立 （独立性检验） H 0 : 总体服从某个概率分布 （拟合优度检验） H 0 : 总体均值相等 （方差分析）--- 通常用于三个及以上的总体 备择假设 H a : μ<μ 0 H a : μ>μ 0 H a : μ≠μ 0 （样本和总体均值） H a : μ 1 -μ 2 <0 H a : μ 1 -μ 2 >0 H a : μ 1 -μ 2 ≠0 （两总体均值） H a : μ d <0 H a : μ d >0 H a : μ d ≠0 （两总体前后差值均值） H a : σ 2 <σ 0 2 H a : σ 2 >σ 0 2

本节内容： 1：方差分析的原理 2：单因数方差分析 、双因数分析 3：交互项 一：方差分析是原理 方差分析原理 对总体均值的假设检验，有三种情况： 1、总体均值与某个常数进行比较； 2、两个总体均值之间的比较； 3、两个以上总体均值之间的比较； 对于前两种情况，用Z分布和T分布就能快速得到假设检验结果。如果比较的总体大于三个，继续用它们也能够得到比较结果，只是需要两两比较，耗时耗力。 这种情况下，使用方差分析能够一次性比较两个及两个以上的总体均值，看看它们之间是否有显著性差异。 常用的方差分析方法包括：单因素方差分析、多因素方差分析、协方差分析、多元方差分析、重复测量方差分析、方差成分分析等。 分类为3种以上 ：采用方差分析判断显著性 原假设就是：X1 = X2 = X3 之间无显著性 二、单因数方差分析 、双因数分析 2.1 单因数方差分析 cre = read.csv("creditcard_exp.csv",stringsAsFactors = F) cre = na.omit(cre) cre$edu = as.factor(cre$edu_class) boxplot(avg_exp～edu_class,data=cre) anova(lm(avg_exp～edu_class,data=cre)) ##这里分析的数据是creditcard_exp.csv信用卡消费 #

均值： 描述的是样本集合的中间点。 方差： 描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均，一般是用来描述一维数据的。 协方差： 是一种用来度量两个随机变量关系的统计量。 只能处理二维问题。 计算协方差需要计算均值。 如下式： 方差与协方差的关系 方差是用来度量单个变量 “ 自身变异”大小的总体参数，方差越大表明该变量的变异越大 协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，则二个变量相互影响越大。 协方差矩阵： 协方差矩阵能处理多维问题； 协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。 协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。 样本矩阵中若每行是一个样本，则每列为一个维度，所以计算协方差时要 按列计算均值 。 如果数据是3维，那么协方差矩阵是： 特征值与 特征向量 线性变化： 线性变换 (线性映射)是在作用于 两个向量空间之间的函数 ，它保持 向量加法和标量乘法 的运算，从一个向量空间变化到另一个向量空间。 实际上线性变换表现出来的就是一个矩阵 。 特征值和特征向量 是一体的概念： 对于一个给定的线性变换（矩阵A），它的特征向量 ξ 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 ξ 保持在同一條直線上，但其长度也许會改变。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例(λ)称为其特征值

5 估计量和估计值是什么？ 估计量不是估计出来的量，是用于估计的量。 估计量：用于估计总体参数的随机变量，一般为样本统计量。如样本均值、样本比例、样本方差等。例如：样本均值就是总体均值的一个估计量。 估计值就是估计出来的数值。 可以在点估计上使用样本方差估计总体方差吗 ? 可以，是无偏的。 置信度与置信水平的关系？ 置信度是 0.05 ，置信水平是 0.95 来自非正态的小样本如何处理？ 按照样本原生分布处理 两总体均值之差两种方差情况下的自由度？ 使用 t 分布的动机是什么 ? 抽样分布正态，但是总体方差未知。 为什么大样本抽样分布正态，但是总体方差未知 , 却使用 Z 分布？ 因为大样本的样本方差可以认为是总体方差 如何估计总体方差？ 来源： https://www.cnblogs.com/yuanjingnan/p/11779077.html