正交矩阵

一、正交矩阵 　定义：Orthogonal Matrix (必为方阵) 如果$A^TA=AA^T=I$，则$n$阶实矩阵$A$称为正交矩阵 　性质： 　　1）$A^T$是正交矩阵 　　2）$A$的各行是单位向量且两两正交 　　3）$A$的各列是单位向量且两两正交 　　4）|A|=1或-1 　 举例： 二、标准正交矩阵的优势 　 1）求解投影矩阵 　　 在 投影矩阵章节 我们已经知道投影矩阵为： $P=A\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ 　　当矩阵A为标准正交矩阵Q时 ，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为： $P=QQ^{T}$ 　　这样就将投影矩阵简单化了。 　 2）求解$Ax=b$ 　　 在 投影矩阵章节 我们已经知道： $\hat{x}=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b$ 　　 当矩阵A为标准正交矩阵Q时 ，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为： $\hat{x}=Q^{T} b$ 三、Gram-Schmidt正交化 　 1） 二维情况 　　 假设原来的矩阵为[a,b]，a，b为 线性无关的二维向量 ，下面我们通过Gram-Schmidt正交化获得 标准正交矩阵 　　假设正交化后的矩阵为Q=[A,B]，我们可以令$A=a$，$B$垂直于$A$，根据我们 在 前面所讲的投影

几个概念 正交矩阵 在 矩阵论 中， 正交矩阵 （orthogonal matrix）是一个 方块矩阵 ，其元素为 实数 ，而且行向量与列向量皆为 正交 的 单位向量 ，使得该矩阵的 转置矩阵 为其 逆矩阵 : 其中， 为 单位矩阵 。正交矩阵的 行列式 值必定为 或 ，因为： 来源： https://www.cnblogs.com/likedata/p/11405547.html

对角化是指存在一个正交矩阵Q，使得 Q T MQ 能成为一个对角阵（只有对角元素非0）。 其中Q T 是Q的转置（同时也是Q的逆，因为正交矩阵的转置就是其逆）。 一个矩阵对角化后得到新矩阵的行列式和矩阵的迹（对角元素之和）均与原矩阵相同。如果M是n阶实对称矩阵，则Q中的第 j 列就是第 j 个特征值对应的一个特征向量（不同列的特征向量两两正交）。 来源： https://www.cnblogs.com/pacino12134/p/11382527.html