有限元

部分工程问题的控制微分方程、边界条件、初始条件以及精确解： 解析解：通过求解微分方程直接求解出来的问题的精确解。 数值解：用电脑计算的，是有误差的。 解析解在系统中的任何点上都是精确的，而数值解只是在称为“节点”的离散的点上才近似于解析解。任何数值方法的第一步都是离散化的，就是将待求解的对象细分为许多小的区域（单元）和节点。 在许多实际工程问题中，我们一般不能得到它的精确解，这要归因于微分方程组的复杂性，以及难以确定的边界条件和初值条件。这时我们常常需要借助数值方法来求近似解。 数值解法常分为两大类：有限差分法和有限元方法。 有限差分法需要针对每一节点写出微分方程，并且利用 差分方程 代替微分方程，从而得到一组联立线性方程组，对于较简单的问题是易于理解和应用的。 相比之下，有限元方法使用 积分方法 来建立系统的代数方程组，而且使用一个 连续的函数 来描述每个单元的近似解。主要讲解有限元方法。 ANSYS经典界面就是APDL界面，现在常用workbench界面（英文），未来很可能成为主流的还有AIM界面（中文，傻瓜式）。 来源： CSDN 作者： Telsair 链接： https://blog.csdn.net/XXXXXXJY/article/details/104339417

1有限元法分析工程实际问题的一般过程 应用有限元分析工程实际问题的一般过程如图1所示。次过程可以分为三个阶段，即前处理、分析和后处理。 有限元分析的第一阶段是把现实生活中的结构工程问题转化为可供计算机分析的有限元模型。 有限元模型的合理性、正确性将直接影响计算分析结果与工程实际之间的距离。这一过程称为有限元分析的前处理过程，通常称为有限元建模过程。 有限元建模主要包括三方面的内容：一是要构造计算对象的几何模型 ，即确定所求问题的类型，建立分析对象的力学模型； 二是要划分有限元网格 ，包括单元类型的选择，网格的布局； 三是要生成有限元分析的输入数据 ，主要包括材料与边界条件数据。建立一个符合工程要求的力学模型，不仅要有宽广的力学知识和工程背景知识，还取决 于有限元计算经验的积累和对分析对象来接的深入程度。 有限元分析过程主要是建立各类问题的有限元方程，并求解这些方程 。 通过单元分析、 整体分析、载荷移置、引力约束即可得到有限元方程 ，这是有限元分析的核心内容。而 对所建立的有限元方程，选择合适的方法求解 ，也是有限元理论重点内容。 后处理主要包括计算结果的加工处理、计算结果的图形显示、计算结果的打印 。它把有 限元分析得到的数据转化为设计人员直接需要的信息，如应力分布状况、结构变形状态等，从而帮助设计人员快速地评价和校核设计方案。 对于仅适用有限元商用软件解决工程实际问题的技术人员

1 有限元法的发展概况 有限元法基本思想的提出，可以追溯到Courant在1942年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域的分片连续函数和最小时势能原理求解圣维南（St.Venant）扭转问题。 (网络搜索内容： 圣维南体 (St.Venant body) 是指圣维南 (St.Venant) 提出的一种理想塑性固体。它的流变模型是由一块底面为平面的重物和放置重物的平面组成的。当作用力 P 达到并稍超过重物与平面之间的静摩擦力 f 时，重物即以匀速运动，也即相当于当剪切应力作用于理想塑性固体时，剪切应力增大达到屈服应力后此固体产生塑性流动。 ) 现代有限元法有一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner、Clough等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们在第一次给出了用三角形单元求平面应力问题的正确解答，打开了利用计算机求解复杂问题的局面。1960年Clough将这种方法命名为有限元法。 1963-1964年，Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限元是基于变分原理的里兹(Ritz)法的另一种形式，从而使得里兹法分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹分的主要区别是，有限元法假设的近似函数不是在求解域上给出的，而是在单元上给出的

1 有限元法基本思想 有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法，其基本思想通过下面的例子来说明。图1简答说明了早期数学上求解圆面积的近似方法。首先将连续的圆分割成一些三角形，求出每个三角形的面积，再将每个小三角形面积相加，即可得到圆面积的近似值。前面是“分”的过程，后面是“合”的过程。之所以要分，是因为三角形面积容易求得。这样简单的一分一合，就很容易求出圆面积的近似值。 体现了有限元法的基本思想，即“拆整为零，集零为整”。 “拆整为零”即“分”的过程，具体包括 1） 离散化 将连续的求解区域离散为有限个部分的集合，并认为各部分只通过有线个点连接起来。例如图2，可假想连续体（a）由许多小部件（b）组成，这些规则或不规则的小部分成为单元（element）。单元之间只通过有限个点连接起来，如（c）所示，单元①与单元②只在1、2两点相连，这些连接点称为节点（node）。这一过程称有限元离散化过程。 2）假定单元场函数 在每个单元内假定近似场函数（位移函数或应力函数），并将单元内的场函数由该单元各个节点的数值通过函数插值表示，这样，未知的场函数（或包括其导数）在单元内各个节点的数值就成为新的未知量（其个数称为自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 3） 单元分析 对每个单元分析，求出单元的特性。 “集零为整”即“合”的过程

三维有限元模型如图所示，压头为直径5mm的圆柱体，岩石为100mm×100mm×100mm的立方体。由于岩石比压头大得多，其边界对变形、位移和应力场的影响可以忽略不计。由于模型的几何形状和力的分布是对称的，为了减少计算时间，采用了四分之一的模型。此外，圆柱压头被视为刚体，在刚体上设置一个参考点与之绑定，只限制其在Z方向上的自由。同时，在岩石底部施加完全固定的约束，在岩石的A侧和B侧分别施加垂直于X轴和Y轴的对称约束。在模拟中，施加静载为1 kN，施加的动载频率在100hz - 150hz之间，振幅在0.5 kN - 1 kN之间，分析动荷载对岩石变形位移和应力场的影响。 标题 模拟结果： 圆柱压头冲击过程中静、动载荷作用下岩石Mises应力对比 作者：LiSQ 来源： CSDN 作者： 小游园 链接： https://blog.csdn.net/s0302017/article/details/103946978

octave 基本操作 算数运算 的符号：+,-,*,/,^,() 注释 用%标出，行内行间注释方法相同。 普通的函数 : sin, cos,tan,asin, acos,atan,exp,log,sqrt,abs 矩阵 ：[ ] 【行间用 ； 隔开】 矩阵计算使用的符号：+,-,*,,’ 有限元计算的原理 1. 最简单的情况 1.1 一维杆两端受力： 已知杨氏模量E，横截面积A，杆的长度L。 有杆两端的位移（u1,u2）和力（F1,F2）,可以通过物理公式求得刚度矩阵。 1.2 一维杆中间+一端受力： 已知杨氏模量E，横截面积A，杆的长度L，力的位置。 有施加的两个力的方向和大小，求结点位移。 1.3 一维变截面杆中间两处受力 已知杨氏模量E，横截面积A1、A2，杆的长度L，力的位置。 求结点位移和两端的支持力。 2与3横截面积相同： 从以上几个例子中可以看出，力与位移之间存在正相关关系，系数即为单元刚度矩阵。在越来越复杂的受力情况中，我们通过分段（有限元法）求出答案。 2. 能量法 能量法的适用范围更广，比方说有弹性形变的问题。 2.1 伸长量与位移线性相关 线性形函数可以表示为： 在local坐标系之下，X的函数可以表示为x的函数： 这时候力就由位移对位置的导数得出。 计算应变能： 其中E和A可以是x的导数。 单元刚度： 2.2 横截面积是x的函数的情况 各自积分求和。 2