微分算子

【摘要】 　　Laplace算子作为边缘检测之一，和Sobel算子一样也是工程数学中常用的一种积分变换，属于空间锐化滤波操作。拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维 欧几里德空间 中的一个二阶微分算子，定义为 梯度 （▽f）的 散度 （▽·f）。拉普拉斯算子也可以推广为定义在 黎曼流形 上的椭圆型算子，称为 拉普拉斯-贝尔特拉米算子 。（百度百科） 【原理】 　　拉普拉斯算子是二阶微分线性算子，在图像边缘处理中，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，因此在进行 图像边缘处理时，直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1 一阶微分和 二阶微分计算图 离散函数的导数退化成了差分，一维一阶差分公式和二阶差分公式分别为：如图2所示 　　　　　　　　图2 一阶微分和 二阶微分计算 分别对Laplace算子x,y两个方向的二阶导数进行差分就得到了离散函数的Laplace算子。在一个二维函数f(x,y)中，x,y两个方向的二阶差分分别为：如图3所示 　　　　　　　图3 x,y两个方向的二阶差分 所以Laplace算子的差分形式为： 写成filter mask的形式如下： 该mask的特点，mask在上下左右四个90度的方向上结果相同，也就是说在90度方向上无方向性。为了让该mask在45度的方向上也具有该性质，对该filter

一、卷积应用-图像边缘提取 图像的高频分量一般出现在像素值显著改变的地方，而高频分量的出现就容易勾画出图像的轮廓。在高等数学中我们知道函数变化剧烈其所对应的导数值越大(极大值)，所以表示图像像素值改变最大的一个方法就是求出图像的导数。其梯度值剧烈的改变预示着图像中内容发生显著变化。 假设我们有一张一维图像，图中灰度值的“跃升”表示边缘的存在，通过对函数进行一阶微分我们可以更加清晰的看到边缘“跃升”的存在，即在其一阶微分中最大值代表其所对应的像素值变化剧烈。我们可以推测对于图像边缘的检测可以通过定位梯度值大于邻域的像素的方法找到（或者推广到大于一个阈值即可认为是图像边缘） 二、Soble算子 Sobel算子是一个离散微分算子(discrete differentiation operator),它用来计算图像灰度函数的近似梯度并结合了高斯平滑和微分求导，又被称为一阶微分算子、求导算子。 1、在两个方向求导 水平变化：将I与一个奇数大小的内核Gx进行卷积，比如当内核大小为3时，Gx计算结果为 垂直变化：将I与一个奇数大小的内核Gy进行卷积，比如当内核大小为3时，Gy的计算结果为： 2、在图像的每一点结合以上两个结果求出近似梯度： 有时也用如下更简单的代替： 注：当内核大小为3时，Sobel内核可能产生比较明显的误差，毕竟Sobel算子只是求取了导数的近似值，为了解决这一问题

边缘检测简介 边缘 就是图像上灰度或者颜色变化很大的一系列连续的点。或者说是图像上不同的区域之间的交界处。 图像中边缘的特点就要从这两方向去分析：方向和幅度。在沿着边缘走向的像素值变化比较平缓；而沿着垂直于边缘的走向，像素值则变化得比较大。 边缘检测方法 我们要研究 边缘检测的方法 ，就要从它的特点入手。是否是边缘可以说是来判断一个点在某个方向上的变化是否剧烈。那么我们怎么用数学的方式去描述这种变化特点呢。在数学上，我们一般使用导数或者微分。 导数 ： 这个很简单，就是连续函数上某点斜率，导数越大表示变化率越大，变化率越大的地方就越是“边缘”。但是，但斜率接近90度的时候，他的斜率就无限大了，在计算机计算的时候就很麻烦了，首先占用空间大，然后就是当斜率过大的时候便无法用常用的数据类型表示了。所以我们一般不用导数来表示 微分 ： 这个概念需要在大学的时候结束，但也很简单。连续函数上x变化了dx，导致y变化了dy，dy/dx 越大，就可以表示变化率很大了。dx趋向于无限小，dy/dx 就是x在该函数上的导数，所以dy/dx就可以来近似导数，我们成这种方式叫做微分。那这种方式有什么优势呢？当我们固定dx，比较不同点的变化率时只用比较dy就好了，所以计算整幅图像的微分，dy的大小就是边缘的强弱了，我们也称之为梯度。所以我们一般会采用微分的方式。 算子 是一个函数空间到另一个函数空间上的映射

一、什么是图像梯度： 图像的梯度就是描述图像中灰度的变化，微积分就是求函数的变化率，即导数（梯度）。图像的梯度相当于2个相邻像素之间的差值。 图像梯度可以把图像看成二维离散函数，图像梯度其实就是这个二维离散函数的求导： 在x方向，选取某个像素，假设其像素值是100，沿x方向的相邻像素分别是90,90,90，则根据上面的计算其x方向梯度分别是10,0,0。这里只取变化率的绝对值，表明变化的大小即可。 灰度值100和90之间亮度相差10，并不是很明显，与一大群90的连续灰度值在一起，轮廓必然是模糊的。我们注意到，如果相邻像素灰度值有变化，那么梯度就有值，如果相邻像素灰度值没有变化，那么梯度就为0。如果我们把梯度值与对应的像素相加，那么灰度值没有变化的，像素值不变，而有梯度值的，灰度值变大了，那么图像的边缘更加明显。 二、OpenCV中的图像梯度应用（检测边缘）： OpenCV提供三种类型的梯度滤波器或高通滤波器，Sobel，Scharr和Laplacian. 高通滤波器（英语：High-pass filter）是容许高频信号通过、但减弱（或减少）频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器； 1、Sober 算子 Sober 算子是离散微分算子（discrete differentiation operator）

1. 拉普拉斯算子 原理：是一种基于图像导数运算的高通线性滤波器。它通过二阶导数来度量图像函数的曲率。 拉普拉斯算子是最简单的各向同性微分算子，它具有旋转不变性。一个二维图像函数的拉普拉斯变换是各向同性的二阶导数，定义为： 用更加形象的图像来解释,假设我们有一张一维图形。下图(a)中灰度值的”跃升”表示边缘的存在.如果使用一阶微分求导我们可以更加清晰的看到边缘”跃升”的存在(这里显示为高峰值)图（b); 如果在边缘部分求二阶导数会出现什么情况?,图(c)所示。(其图片和定义公式来源于 http://www.opencv.org.cn/opencvdoc/2.3.2/html/doc/tutorials/imgproc/imgtrans/laplace_operator/laplace_operator.html )。 (a) (b) (c) 你会发现在一阶导数的极值位置，二阶导数为0。所以我们也可以用这个特点来作为检测图像边缘的方法。 但是， 二阶导数的0值不仅仅出现在边缘(它们也可能出现在无意义的位置),但是我们可以过滤掉这些点。 为了更适合于数字图像处理，将该方程表示为离散形式： 另外，拉普拉斯算子还可以表示成模板的形式，以便更好编程需要。如图1所示。 图1（a）表示离散拉普拉斯算子的模板，图1（b）表示其扩展模板，图1（c）则分别表示其他两种拉普拉斯的实现模板

现代深度学习系统中（比如MXNet， TensorFlow等）都用到了一种技术——自动微分。在此之前，机器学习社区中很少发挥这个利器，一般都是用Backpropagation进行梯度求解，然后进行SGD等进行优化更新。手动实现过backprop算法的同学应该可以体会到其中的复杂性和易错性，一个好的框架应该可以很好地将这部分难点隐藏于用户视角，而自动微分技术恰好可以优雅解决这个问题。接下来我们将一起学习这个优雅的技术:-)。本文主要来源于陈天奇在华盛顿任教的课程 CSE599G1: Deep Learning System 和《 Automatic differentiation in machine learning: a survey 》。 什么是自动微分 微分求解大致可以分为4种方式： 手动求解法(Manual Differentiation) 数值微分法(Numerical Differentiation) 符号微分法(Symbolic Differentiation) 自动微分法(Automatic Differentiation) 为了讲明白什么是自动微分，我们有必要了解其他方法，做到有区分有对比，从而更加深入理解自动微分技术。 手动求解法 手动求解其实就对应我们传统的backprop算法，我们求解出梯度公式，然后编写代码，代入实际数值，得出真实的梯度。在这样的方式下

原文链接： 边缘检测与图像分割 作者： HUSTLX 1图像分割原理 图像分割的研究多年来一直受到人们的高度重视，至今提出了各种类型的分割算法。Pal把图像分割算法分成了6类：阈值分割，像素分割、深度图像分割、彩色图像分割，边缘检测和基于模糊集的方法。但是，该方法中，各个类别的内容是有重叠的。为了涵盖不断涌现的新方法，有的研究者将图像分割算法分为以下六类：并行边界分割技术、串行边界分割技术、并行区域分割技术、串行区域分割技术、结合特定理论工具的分割技术和特殊图像分割技术。而在较近的一篇综述中，更有学者将图像分割简单的分割数据驱动的分割和模型驱动的分割两类。下面将图像分割方法主要分以下几类：基于阈值的分割方法、基于区域的分割方法、基于边缘的分割方法、基于数学形态的分割方法以及基于特定理论的分割方法等，对其中主要的分别进行简要介绍。 1.1灰度阈值分割法 是一种最常用的并行区域技术，它是图像分割中应用数量最多的一类。阈值分割方法实际上是输入图像f到输出图像g的如下变换： 其中，T为阈值，对于物体的图像元素g(i,j)=l，对于背景的图像元素g(i,j)=0。 由此可见，阈值分割算法的关键是确定阈值，如果能确定一个合适的阈值就可准确地将图像分割开来。如果阈值选取过高，则过多的目标区域将被划分为背景，相反如果阈值选取过低，则过多的背景将被划分到目标区 [7] 。阈值确定后

1. Laplacian 算子 Laplacian 算子（拉普拉斯）， 是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的散度（参考： 一阶为梯度，二阶为散度 ）。 拉普拉斯算子的定义： Laplace ( f ) = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 (f)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} ( f ) = ∂ x 2 ∂ 2 f ​ + ∂ y 2 ∂ 2 f ​ 注意： 拉普拉斯算子使用了图像梯度，它的内部代码调用了 Sobel算子 ， 且如果让 一幅图像减去它的Laplacian算子可以增强对比度 。 源代码剖析 /************************************************************ * void Laplacian( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int ksize = 1, double scale = 1, double delta = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT ); * * ksize = 1, 内核大小为3*3 * * src: image 8-bit input image

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