图论

今天我们要复习的内容是图论中的最短路算法，我们在这里讲3种最短路求法，分别是：floyd，dijkstra，spfa。 那么我们从一道例题来切入今天讲解的算法。 德克萨斯纯朴的民众们这个夏天正在遭受巨大的热浪！！！他们的德克萨斯长角牛吃起来不错，可是他们并不是很擅长生产富含奶油的乳制品。Farmer John此时以先天下之忧而忧，后天下之乐而乐的精神，身先士卒地承担起向德克萨斯运送大量的营养冰凉的牛奶的重任，以减轻德克萨斯人忍受酷暑的痛苦。 FJ已经研究过可以把牛奶从威斯康星运送到德克萨斯州的路线。这些路线包括起始点和终点先一共经过T (1 <= T <= 2,500)个城镇，方便地标号为1到T。除了起点和终点外地每个城镇由两条双向道路连向至少两个其它地城镇。每条道路有一个通过费用（包括油费，过路费等等）。 给定一个地图，包含C (1 <= C <= 6,200)条直接连接2个城镇的道路。每条道路由道路的起点Rs，终点Re (1 <= Rs <= T; 1 <= Re <= T)，和花费(1 <= Ci <= 1,000)组成。求从起始的城镇Ts (1 <= Ts <= T)到终点的城镇Te(1 <= Te <= T)最小的总费用。 输入格式： 第一行: 4个由空格隔开的整数: T, C, Ts, Te 第2到第C+1行: 第i+1行描述第i条道路。有3个由空格隔开的整数: Rs,

ST表 　　　　　　　 无修改区间最值询问问题 给出一个数组 a[1..N] Q 个询问，每次询问每次询问区间 [x,y] 最大值。 N,Q <= 100000 　 　　　　　　　　St 表的递推 用 st[k][i] 表示从 i 开始连续 2^k 个元素的最值。 得出递推式 st[k+1][i]=max(st[k][i], st[k][i+2^k]); （假设求最大值） 从小到大枚举 k ，再枚举 i 。 那么预处理出上面这个数组的复杂度为 O(nlogn) 。 　　　　　　　　询问操作 找出最大的 k 使得 2^k<=y-x+1 注意到 [x,x+2^k-1], [y-2^k+1,y] 两个子区间覆盖原区间 [x,y] 那么答案就是 max(st[k][x], st[k][y-(2^k)+1]). (y-x+1) 向下取整 小技巧：内建函数计算 log #define log(x) (31-__builtin_clz(x)) 有用的性质 求多个数最大值时，同一个值重复出现多次和出现次效果是相同的 St 表主要运用于在没有修改的情况需要能快速求解区间最值的情况。 　　　　　　　　Sparse table 时间复杂度 预处理： O(nlogn) 每次询问： O(1) 　　　　　　　　LCA 给定一棵树。 Q 个询问，每次询问某两个点 (x,y) 的最近公共祖先

　　　　　　　　匹配 设 G = <V, E>, 若 E*(E* ? E) 中任何两条边均不相邻 , 则称 E* Ϊ G 中 边独立集 , 也称 E* Ϊ G 中的 匹配 ( Matching ) ; ͼ (a) 中， E*= { e 1 , e 4 , e 7 } 就是一个匹配 。 所 谓任何两条边均不相邻， 通俗地讲，就是任 何两条边都没有公共顶点。 若在 E* 中加入任意一条边所得集合都不是匹配 , 则称 E* Ϊ 极大匹 配 ; 边数最多的匹配称为 最大匹配 ; 最大匹配的边数称为 边独立数 或 匹配数 , 记作β 1 (G) , 简记为β 1 。 　　图 (a) 中 , { e 2 , e 6 }, { e 3 , e 5 }, { e 1 , e 4 , e 7 } 都是极大匹配 , { e 1 , e 4 , e 7 } 是最大匹配 , β 1 = 3 。 　　图 (b) 中 , { e 1 , e 3 }, { e 2 , e 4 }, { e 4 , e 7 } 都是极大匹配 , Ҳ 都是最大匹配 , β 1 = 2 。 　　　　　　　　二部图 ( 二分图 ) 二部图 ：如果图 G 是一个简单图，它的顶点集合 V 是由两个没 有公共元素的子集 X={X 1 ,X 2 ,..,X m } 与子集 Y={Y 1 ,Y 2 ,…,Y n } ， 并且 X i 与 X j

运筹学图论在编程中的应用 2015年02月14日 10:21:07 阅读数：1367 运筹学是一门研究如何有效的组织和管理人及系统的科学，所以肯定对于计算机有一个联系，可以说计算机是运筹学的发展的基本因素，计算机是运筹学的不可分割的部分和不可缺少的工具，并且计算机方法与运筹学的方法是并行发展的，比如说我们在运筹学里学到的图论对于在计算机中更是广泛，我们知道图论涉及到最少路径法、树的生成、最小枝杈和最大流量，因为本人的知识有限所以下面的认识希望大家能够给出指导！ 图论的方法在实际问题中的应用咱们都知道比如说实际中的的如何规划交通线路问题流量的问题。这就利用到了最大流量的方法，找到最小狭口，找到最小流量控制在最小流量之下就能够防止交通拥堵的情况，在程序设计中我们知道这种思想也用到的很多，比如说图的存储问题，它涉及到邻接表和邻接矩阵，所谓的邻接矩阵就是用一个一维数组来表示的存储结构，如何优化这个矩阵如何优化存储结构就涉及到了图论的思想，但是因为我知识有限所以其余的要再见到在去研究啦！ 这是我对运筹学的一点总结和心得，我感觉运筹学给的一些思想和科学方法使我们需要学习的大到一个城市的规划小到一个家的规划我们都要用到图论里的方法，所以，我们要好好的学习啦！ 感言：把计算机程序看成一个商业系统，太新颖的角度了 转载请标明出处: 运筹学图论在编程中的应用 文章来源: 运筹学图论在编程中的应用

Mr_H出了一道信息学竞赛题，就是给 n 个数排序。输入格式是这样的： 　　试题有若干组数据。每组数据的第一个是一个整数 n，表示总共有 n 个数待排序；接下来 n 个整数，分别表示这n个待排序的数。 　　现在Mr_H需要对数据进行修改，改动中“一步”的含义是对文件中的某一个数+1或-1，写个程序，计算最少需要多少步才能将数据改得合法。 【输入格式】 　　第一行一个整数m，表示Mr_H做的输入数据包含的整数个数。第二行包含m个整数a[i]，每个整数的绝对值不超过10000。 【输出格式】 　　一个整数，表示把数据修改为合法的情况下，最少需要多少步。 【输入样例】 【样例1】 　4 　1 9 3 2 【样例2】 　10 　4 4 3 5 0 -4 -2 -1 3 5 【输出样例】 【样例1】 　2 【样例1】 　3 【数据范围】 对于20%的数据，m<=10, |a[i]|<=5; 对于60%的数据，m<=5000, |a[i]|<=10000 对于100%的数据，m<=100000, |a[i]|<=10000 分析： 1.当a[i]>=0,i号节点可以不加修改地到达i+a[i]+1号节点，于是连一条从i出发的权值为0的有向边，注意i+a[i]+1可以大于m+1；这一步当a[i]<0时可以直接忽略（思考为什么） 2.任意一个节点向左或向右一步都相当于是一次操作

数据结构实验之图论六：村村通公路 Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB Submit Statistic Discuss Problem Description 当前农村公路建设正如火如荼的展开，某乡镇政府决定实现村村通公路，工程师现有各个村落之间的原始道路统计数据表，表中列出了各村之间可以建设公路的若干条道路的成本，你的任务是根据给出的数据表，求使得每个村都有公路连通所需要的最低成本。 Input 连续多组数据输入，每组数据包括村落数目N(N <= 1000)和可供选择的道路数目M(M <= 3000)，随后M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个村庄的编号和修建该道路的预算成本，村庄从1～N编号。 Output 输出使每个村庄都有公路连通所需要的最低成本，如果输入数据不能使所有村庄畅通，则输出-1，表示有些村庄之间没有路连通。 Sample Input 5 8 1 2 12 1 3 9 1 4 11 1 5 3 2 3 6 2 4 9 3 4 4 4 5 6 Sample Output 19 Hint Source xam #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define inf 199999999 int n,m,sum;

数据结构实验之图论一：基于邻接矩阵的广度优先搜索遍历 Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB Problem Description 给定一个无向连通图，顶点编号从0到n-1，用广度优先搜索(BFS)遍历，输出从某个顶点出发的遍历序列。(同一个结点的同层邻接点，节点编号小的优先遍历） Input 输入第一行为整数n（0< n <100），表示数据的组数。 对于每组数据，第一行是三个整数k，m，t（0＜k＜100，0＜m＜(k-1)*k/2，0＜ t＜k），表示有m条边，k个顶点，t为遍历的起始顶点。 下面的m行，每行是空格隔开的两个整数u，v，表示一条连接u，v顶点的无向边。 Output 输出有n行，对应n组输出，每行为用空格隔开的k个整数，对应一组数据，表示BFS的遍历结果。 Sample Input 1 6 7 0 0 3 0 4 1 4 1 5 2 3 2 4 3 5 Sample Output 0 3 4 2 5 1 #include <iostream> #include < bits / stdc ++. h > using namespace std ; int vis [ 105 ], graph [ 105 ][ 105 ]; int st [ 105 ], top ; void bfs ( int t , int

引入 连通图 在一个**无向图**$G$中，若从顶点$i$ 到顶点$j$有路径相连，则称 $i$和$j$是连通的。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果$G$是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。如果是单向连通，则称$G$为单向连通图。 割点（关节点） 在无向连通图$G=(V,E)$中: 若对于$x\in V$， 从图中删去节点$x$以及所有与$x$关联的边之后， $G$分裂成两个或两个以上不相连的子图， 则称$x$为$G$的割点。 简而言之， 割点是无向连通图中的一个特殊的点， 删去中这个点后， 此图不再连通， 而所以满足这个条件的点所构成的集合即为割点集合。 割边（桥） 如果删除$G$的一条边$b$，图$G$分离成两个非空子图，则称边$b$为图$G$的桥。如下图中，顶点$u$和$v$都是割点，其他顶点都不是割点，边$(u,v)$是桥，其他边都不是桥。 关节点识别 方案一：DFS (O(n^2)) 依次去掉每一个点，判断图是否还连通。 方案二： Tarjan 算法 DFS树 首先需要了解一些关于 深度优先搜索树 （DFS tree）的概念。 以下图为例： 它的深度优先搜索树如下： 其中黑色的边为 树边 ：如果结点 \(u\) 因算法对边 \((u,v)\) 的搜索而首次被发现，则 \((u,v)\) 是一条树边。 简单点说就是，它是正常的一颗树的边

问题： 《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{ \(1, 2, 3, 4, 5\) }的所有满足以 下条件的子集：若 \(x\) 在该子集中，则 \(2x\) 和 \(3x\) 不能在该子集中。 同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 \(n≤100000\) ，如何求出{ \(1, 2,…, n\) } 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 \(1,000,000,001\) 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 解: 这是一道图论题 题目暗示 首先我们先考虑构图 将基础位置的2倍放在他的下方 3倍放在右方 你就可以构建一个矩阵 然后你就会惊奇地发现这 要求一个数上下左右不相邻 这不就是玉米地或者是 炮兵阵地 那道题么？ 状态转移就不说了吧 然后根据乘法原理 答案为： $ \prod \sum f[las][j]$ $ f[i][j] \(表示 第\) i \(行状态为\) j$的方案数 我不会说我最后一个点被卡我打了一波表 code： // #include<stdio.h> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxnn 100010 #define ll long long #define mod 1000000001 int land

1.Key word： ①双向DFS ②回溯 今天就看到了这么多DFS，其实DFS更倾向于枚举所有情况。 对于双向DFS，我们考虑看看最短路，起点做一下搜索，记录一下到所有点的距离，终点做一下搜索，记录一下到所有点的距离，那么起点到任一点的距离加上终点到任一点的距离那不就是起点到终点经过这一点的最短距离，我觉得BFS也可以实现，所以在我眼里BFS相对于DFS更强一点，只有说得到特定的某一结果的时候深搜可能会好一点。 设计回溯，所谓回溯就是还原现场，保证在执行另一分支的时候能够保证所以的改变只受当前状态的影响，所以在一条路走不通时就要修改，不过通过特殊的修改可以达到特殊的回溯效果，回溯时剪枝，回溯时调整路线，都是可以的。 DFS题型： 哈密尔顿路径 欧拉回路 连通性 枚举题目 全排列（也是枚举）所以DFS对于状态的找寻比较局限，目前还没看到更好的题目。 来源：51CTO 作者： 张俊浩 链接：https://blog.csdn.net/weixin_43627118/article/details/100107848