泰勒公式

数学建模初步，泰勒公式思想 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103935608

泰勒公式 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103935672

文章目录 任务详解： 1.泰勒公式 2.函数的凹凸性 3.函数的极值 4.不定积分（求原函数） 第一类换元法（凑微分） 第二类换元法 分部积分法 5.定积分 牛顿莱布尼茨公式 换元法 分部积分 本课程来自 深度之眼 ，部分截图来自课程视频。 【第二章 微积分】2.2泰勒公式函数极值定积分 在线LaTeX公式编辑器 任务详解： 这节课主要介绍了泰勒公式，函数的凹凸性，函数的极值，不定积分，定积分等知识点。 掌握目标： 1、了解泰勒公式 2、了解函数的凹凸性 3、掌握函数的极值，以及极值的充要条件 4、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式 1.泰勒公式 泰勒（Taylor）中值定理1 ：如果函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 x 0 x_0 x 0 ​ 处具有n阶导数，那么存在 x 0 x_0 x 0 ​ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x x x ，有 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+

cosx泰勒公式的图像展示 一.固定x0=0,观察n对其影响 1.代码: t = Table[Normal[Series[Cos[x], {x, 0, i}]], {i, 1, 13, 2}]; PrependTo[t, Sin[x]]; Plot[Evaluate[t], {x, -Pi, Pi}] 2.运行结果: 二.做出原图与泰勒展开结果的比较图 1.代码: For[i = 1, i <= 11, a = Normal[Series[Cos[x], {x, 0, i}]]; b = Plot[{a, Cos[x]}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0]}]; Print[b]; i += 2] 2.运行结果: 三.扩大绘图范围 1.代码: For[i = 1, i <= 33, a = Normal[Series[Cos[x], {x, 0, i}]]; b = Plot[{a, Cos[x]}, {x, -4 Pi, 4 Pi}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0]}]; Print[b]; i += 4] 2.运行结果: 3.结论: 可以看出在33阶的情况下4π内模拟得已经很接近了 四.固定n=6

一阶泰勒公式是什么意思这里的不是都展到了二阶吗？为什么说是一阶?几阶是怎么看的？ 回答： f'(xo)是准确值，f''(ξ)那一项是一阶泰勒的余项。所以说，还是展开到了一阶。 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。 扩展资料： 实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。 泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面： 1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。 3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。 4、证明不等式。 5、求待定式的极限。 来源： https://www.cnblogs.com/wisir/p/11810353.html

泰勒：任何函数都可以展开成多项幂函数的和的形式 。 后人：任何 可导 函数f(x)都可以展开成多项幂函数的和的形式，这是所有函数（正弦、余弦、正切、余切、对数函数、指数函数）的统一形式，这实现了数学上最高形式的美，统一美。 例如： 一图胜前言， 此处有 s i n ( x ) 的展开动图 。 函数f(x)利用泰勒公式在某一点的展开： c属于（a,x）最后一项R n (x)是皮亚诺余项， 一般来说项数 展开的比较多的时候，这一项会趋近于0。 来源： https://www.cnblogs.com/yibeimingyue/p/11806257.html

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 一、函数极限(1.1-1.46) 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 另一种方法，一次求导之后再拆分。 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 \({\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}\) 故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。

# 2020张宇1000题·数一·刷题记录 ## 第一篇 高等数学 ### 第1章 极限、连续 #### 一、函数极限(1.1-1.46) 1. 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 2. 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 3. (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 4. 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 5. 另一种方法，一次求导之后再拆分。 6. 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 ${\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}$ 故分子相减不能用等价无穷小替换