数学难题

世界七大数学难题 编辑 计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫· 希尔伯特 。希尔伯特在1900年8月8日于 巴黎 召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。 希尔伯特问题 在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。 目录 1 难题的提出 2 七大数学难题 千年大奖问题 P问题对NP问题 霍奇猜想 庞加莱猜想 黎曼假设 杨－米尔斯存在性和质量缺口 纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 贝赫和斯维讷通－戴尔猜想 1 难题的提出 20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决， 如 费马大定理 的证明，有限单群分类工作的完成等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。 效法 希尔伯特 ， 许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希冀为新世纪数学的发展指明方向。 这些数学家知名度是高的， 但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。 2000年初美国 克雷数学研究所 的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学研究所“千年大奖问题

试想一下，如果你的裤子破了好几个洞，每个洞形状各异，但是宽度都不超过1厘米。 该如何设计一个通用的补丁，能够把所有的洞都补上呢？ 一个退休程序员让百年数学难题逼近理论极限 这个问题在数学上叫做：万有覆盖问题（universal covering problem)。 已经让数学家思考了一百年。 乍一听上去，这像是一个很简单的问题。 但是稍微想一想，似乎又不那么简单。 比如一个边长为1的等腰三角形，和一个直径为1 的圆形，两者的直径都为 1。 但是，这个三角形就不能被圆形覆盖。 一个退休程序员让百年数学难题逼近理论极限 而最近，一个退休程序员，用高中方法取得了最新进展。 为什么这么难？ 这个难题的的提出者，法国著名数学家：勒贝格(Henri Léon Lebesgue)。 一个退休程序员让百年数学难题逼近理论极限 △Henri Léon Lebesgue 他提出了勒贝格积分，拓宽了积分学的研究范围。 在1914时，他给好朋友Julius Pál（也是数学家）写信时提了一个问题： 在一个平面上，找一个最小区域，让它可以覆盖直径不超过1个单位的面积？ 直径不超过1个单位的任意形状，就是一个封闭曲线的边缘上，最远两点的距离不超过1个单位。 这个问题最难的部分是： 无法穷举所有直径为1的形状到底长什么样子。 直径为1的形状千千万，到底用哪种万能补丁才能全部覆盖它们呢？

七桥问题 七桥问题 Seven Bridges Problem 18世纪著名古典 数学 问题之一。在 哥尼斯堡 的一个公园里，有七座桥将 普雷格尔 河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“ 一笔画 ”问题，证明上述走法是不可能的。 有关 图论 研究的热点问题。18世纪初 普鲁士 的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家 欧拉 把它转化成一个 几何 问题（如左图下）—— 一笔画问题 。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端） 推断方法 当 Euler 在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的 消遣 活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中

6．一种概率算法 　　缪内的结果虽然很好，但它毕竟是依赖于一个悬而未决的假设．因而在实用中，它是不能被采用的．故我们回到勒默的结果，看看从这个结果还能引伸出什么方法来． 　　勒默的结果说，若n是合数，则存在a，满足(a，n)=1使样的a至少有多少． 　　 　n是合数时，由勒默的结果定理2.12，Mn是Un的真子群，即Mn≠Un，因而Mn在Un中的指标至少是2，即(Un∶Mn)≥2．故Mn中的元素个数至多是Un中元素个数的一半，即Un中不在Mn中的元素个数至少 　　　 (modn)． 　　证明 对1到n之间的数a，若(a，n)≠1，则显然a不满足　 　 　　这个推论可以产生一种作“素性判别”的概率算法： 　　对任何输入n，从1到n之间随机地抽取k个数a1，a2，…，ak 是否成立，若有某个ai使此同余式不成立，则断言n是合数；若对a1，…，ak，同余式都成立，则断言n是素数． 　　在这个算法中，ai的选取是随机的，而且结论(断言)正确性不是完全确定的，故此算法叫概率算法．在这个概率算法中，当得到断言说输入n是合数时，由定理2.11，结论是正确的；当得到断言说输入是素数时，没有什么定理可以确保结论是正确的．也就是说，此算法在执行完毕后，可能将一个事实上是合数的输入断言为是素数了．但是，由以上定理2.15的推论，这种出错的概率是很小的．因为，若n事实上是合 　 　 乎为零(但不是零！)