时间复杂度

解析：排序过程就是进行比较和交换过程，而时间复杂度就与比较和交换的次数相关。 解析：二维数组为4*3，可表示为 1 0 0 3 2 0 6 7 8 9 0 0 因为数组的起始位置为a[0][0],所以a[2][1]为第三行第二列，即7。 解析：递归工作栈里面包括返回地址、本层的局部变量和递归调用的形参代换用实参，所以正常情况下，无论递归过程有没有使用局部变量，转换为非递归过程都需要用栈来模拟这个递归调用过程。 不稳定：快选堆希 稳 定：插冒归基 归并排序的平均时间复杂度为O(nlogn), 其他三个排序的平均时间复杂度为O(n^2) 快速排序、归并排序和插入排序必须等到整个排序结束后才能够求出最小的 10 个数，而堆排序只需要在初始堆的基础上再进行 10 次筛选即可，每次筛选的时间复杂度为 O(log2n) 外部排序指的是大文件的排序，即待排序的记录存储在外存储器上，待排序的文件无法一次装入内存，需要在内存和外部存储器之间进行多次数据交换，以达到排序整个文件的目的。外部排序最常用的算法是多路归并排序，即将原文件分解成多个能够一次性装入内存的部分，分别把每一部分调入内存完成排序。然后，对已经排序的子文件进行多路归并排序。 尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次

random是python产生伪随机数的模块，随机种子默认为系统时钟。下面分析模块中的方法： 1.random.randint(start,stop): 这是一个产生整数随机数的函数，参数start代表最小值，参数stop代表最大值，两端的数值都可以取到； 函数算法时间复杂度：O（1） 核心源代码： return self.randrange(a, b+1) # 由randrange函数封装而来 例子： 1 for i in range(20): 2 　　print(rm.randint(0, 10), end=' ') 2.random.randrange(start,stop,step): 也是一个随机整数函数，参数可选； 当只有一个参数时，默认随机范围0到该 参数，前闭后开；两个参数，最小值和最大值，前闭后开；三个参数，最小值，最大值和步长，前闭后开。 算法时间复杂度：O（1） 核心源代码： return istart + istep*self._randbelow(n) # 该函数由_randbelow函数封装得到 例子： 1 for i in range(10): 2 　　print(random.randrange(10)) # 产生0到10（不包括）的随机数 3 　　print(random.randrange(5,10)) # 产生5到10（不包括）的随机数 4 　

前言 递归是算法中一种非常重要的思想，应用也很广，小到阶乘,再在工作中用到的比如统计文件夹大小，大到 Google 的 PageRank 算法都能看到，也是面试官很喜欢的考点 最近看了不少递归的文章，收获不小，不过我发现大部分网上的讲递归的文章都不太全面，主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度，而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难（需要用到归纳法等），换句话说，如果能解决递归的算法复杂度，其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外，递归算法的时间复杂度不少是不能接受的，如果发现算出的时间复杂度过大，则需要转换思路，看下是否有更好的解法 ，这才是根本目的，不要为了递归而递归！ 本文试图从以下几个方面来讲解递归 什么是递归？ 递归算法通用解决思路 实战演练（从初级到高阶） 力争让大家对递归的认知能上一个新台阶，特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获 什么是递归 简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。 以阶乘函数为例,如下, 在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数 public int factorial ( int n ) { if ( n < = 1 ) {

题目： 输入一个数组和一个数字，在数组中查找两个数，使得它们的和正好是输入的那个数字。 要求时间复杂度是O(n)。如果有多对数字的和等于输入的数字，输出任意一对即可。 例如输入数组1、2、4、7、11、15和数字15。由于4+11=15，因此输出4和11。 解析：如果数组是 无序 的，先排序（n*logn），然后用两个指针i，j，各自指向数组的首尾两端，令i=0，j=n-1，然后i++，j--，逐次判断 a[i]+a[j]?=sum，如果某一刻a[i]+a[j]>sum，则要想办法让sum的值减小，所以此刻i不动，j--，如果某一刻 a[i]+a[j]<sum，则要想办法让sum的值增大，所以此刻i++，j不动。所以，数组无序的时候，时间复杂度最终为 O（n*logn+n）=O（n*logn），若原数组是 有序 的，则不需要事先的排序，直接O（n）搞定，且空间复杂度还是O（1），此思路是相对于上述 所有思路的一种改进 。（如果有序，直接两个指针两端扫描，时间O（N），如果无序，先排序后两端扫描，时间O（N*logN+N）=O（N*logN），空间始终都为O（1）） 。 总结 ： 不论原序列是有序还是无序，解决这类题有以下三种办法：1、二分（若无序，先排 序后二分），时间复杂度总为O（n*logn），空间复杂度为O（1）；2、扫描一遍X-S[i] 映射到一个数组或构造hash表

　　问题是这样的：对于一株树（无向无环连通图），为每个结点分配对应的权重。要求能高效计算任意两个结点之间的路径的各类信息，其中包括路径长度（路径上所有结点的权重加总），路径中最大权重，最小权重等等。到这里一切都还是比较简单的，我们可以利用Tarjan的LCA算法在线性时间复杂度内快速求解。但是如果还要求允许动态修改任意结点的权值，那么问题就不简单了。很容易发现这有些类似于线段树的问题，但是线段树是作用在区间上，而我们的问题是发生在树上的，因此线段树并不适用。而树链剖分则是可以用于求解这类问题的高效算法，其更新权值的时间复杂度为O(log2(n))，而统计路径信息的时间复杂度为O((log2(n))^2)。下面对树链剖分进行讲解。 　　对于任意一株树，我们记r.size表示以结点r为根的子树中的结点总数，称为r的大小。记r.next表示r的所有子结点中size属性最大的一个结点（如果没有子结点允许留空），称为r的重孩子，而其余子结点称为r的轻孩子，与重孩子相连的边称为重边，而与轻孩子相连的边称为轻边。利用深度优先搜索算法可以在O(n)时间复杂度内计算所有结点的size和next属性。 　　很容易发现通过将每个结点与其重孩子通过一条特殊的链条连接，那么我们就在图中建立了多条互不相交的链路，每个结点都处于一个链路中（链路可能只有一个结点），这些链路称为重链。每一条重链中所有结点深度不同

转自 https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6613379.html 首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)： 　　　　在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上 深度最大 的 公共 的 祖先节点 。 　　　　换句话说，就是两个点在这棵树上 距离最近的公共祖先节点 。 　　　　所以LCA主要是用来处理当两个点仅有 唯一一条 确定的最短路径时的路径。 　　　　有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？ 　　　　答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说， 你的父亲也是你的祖先 ，而LCA还可以 将自己视为祖先节点 。 　　　　举个例子吧，如下图所示 ４ 和 ５ 的 最近公共祖先是２ ， ５ 和 ３ 的 最近公共祖先 是 １ ， ２ 和 １ 的 最近公共祖先 是 １ 。　 　　　　这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？ 　　　　通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为 O(n*q) ，很明显， n和q一般不会很小 。 　　　　常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增 　　　　后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在 O(logn)~O(nlogn) 之间

bilibili学习算法ing~ 网址：https://www.bilibili.com/video/av18109226?from=search&seid=435070662036623495 2020年2月19日 最大连续数组：暴力：三个for 时间复杂度：n的立方 分治：递归的/2 时间复杂度：nlogn 分析法： 时间复杂度：n 一开始不懂，后来看了别人的文章懂了 https://www.jianshu.com/p/12188ee5ba5b 通俗易懂~顺便完成了 lintcode 41. 最大子数组 来源： CSDN 作者： lmy9213 链接： https://blog.csdn.net/lmy9213/article/details/104393554

一、主定理 1、 主要是计算 n_log_b_a 。求出来之后和后面的Fn进行比较，然后按照规则些出结果就行。 2、一句话解释：这两个值哪一个大就取谁；想等的话先看Fn里面log的次数，最终的结果在log的基础之上+1就是最终结果log的次数。例题如右下角 3、要注意的一点就是：保证T（n）的形式要和定理里面的一样，一个大问题拆解成为几个相等的小问题。 1、例题如上。 2、N！是阶数最高的，属于NP难问题。复杂度是最大的。 3、n的n次方乘以log n。 Fib数列递推公式的证明（斐波那契数列） 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*） 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 先回顾一下常微分方程：fib数列。假设y=e的lλx次方，解出y。

常见排序算法 算法：一个计算过程，解决问题的方法 程序 = 数据结构 + 算法 1.算法基本概念 1.时间复杂度 用什么方式来体现算法运行的快慢？ 通过运行的次数表示时间复杂度 示例： print("hello world") print("hello python") print("hello algorithm") #以上时间复杂度O(1) for i in range(n): print("hello world") for j in range(n): print("hello world") #时间复杂度O(n**2) while n>1: print(n) n = n//2 时间复杂度记为O(log 2 n)或O(log n) 当算法过程出现循环折半的时候复杂度式子中会出现log n 时间复杂度小结 时间复杂度是用来计算算法运行的时间的一个式子（单位） 一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。 创建的时间复杂度(按效率排序) O(1) < O(logn) < O(nlogn) < O(n2) < O(n2 log n) < O(n3) 复杂问题的时间复杂度 O(n!) O(2**n) O(n**n) 如何简单快速地判断算法复杂度 快速判断算法复杂度，适用于绝大多数简单情况 确定问题规模n 循环减半过程---> log n k层关于n的循环 --->n**k

　　不太恰当的比喻： 　　　　XM 指的是“小明”，也指的是“小萌” 　　　　XM就是哈希值，小明和小萌就是拥有同一个哈希值的，存在同一个链表的元素。 　　　　想要获取小萌，首先使用hashcode获取到这两个人，然后再通过equals获取到小萌。 　　个人理解 　　 　　哈希表其实就是一个一维数组，而数组中的每一个元素都是一个单向链表而已。这样的数据结构 解决了数组的增删元素的不足和链表的查询效率的不足 。 　　 数组是存在连续的存储空间，而链表的存储空间不连续 -------------------------------- 　　哈希算法将任意长度的二进制值映射为固定长度的较小二进制值，这个小的二进制值称为哈希值。哈希值是一段数据唯一且极其紧凑的数值表示形式。如果散列一段明文而且哪怕只更改该段落的一个字母，随后的哈希都将产生不同的值。要找到散列为同一个值的两个不同的输入，在计算上是不可能的，所以数据的哈希值可以检验数据的完整性。 　　哈希表是根据设定的哈希函数H(key)和处理冲突方法将一组关键字映象到一个有限的地址区间上，并以关键字在地址区间中的象作为记录在表中的存储位置，这种表称为哈希表或散列，所得存储位置称为哈希地址或散列地址。作为线性数据结构与表格和队列等相比，哈希表无疑是查找速度比较快的一种。 　　哈希通过将单向数学函数（有时称为“哈希算法”