LCA最近公共祖先（Tarjan离线算法）详解（转）

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首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

　　　　在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

　　　　换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

　　　　所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

　　　　有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？

　　　　答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。

　　　　举个例子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。　

　　　　这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

　　　　通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。

　　　　常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增

　　　　后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间，我个人认为较难理解。

　　　　有的题目是可以用线段树来做的，但是其代码量很大，时间复杂度也偏高，在O(n)~O(nlogn)之间，优点在于也是简单粗暴。

　　　　这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。

　　　　什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是O(n+q)。

　　　　Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。

　　　　下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：

　　　　　　1.任选一个点为根节点，从根节点开始。

　　　　　　2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。

　　　　　　3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

　　　　　　4.合并v到u上。

　　　　　　5.寻找与当前点u有询问关系的点v。

　　　　　　6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

　　　　遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

　　　　下面上伪代码：

Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
{
    for each(u,v)    //访问所有u子节点v
    {
        Tarjan(v);        //继续往下遍历
        marge(u,v);    //合并v到u上
        标记v被访问过;
    }
    for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
    {
        如果e被访问过;
        u,e的最近公共祖先为find(e);
    }
}

个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以我打算模拟一遍给大家看。

　　　　建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！

　　　　假设我们有一组数据 9个节点 8条边联通情况如下：

　　　　1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树

　　　　设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；

　　　　设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0;　