第二章算法时间复杂度

一、主定理

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1、主要是计算 n_log_b_a 。求出来之后和后面的Fn进行比较，然后按照规则些出结果就行。
2、一句话解释：这两个值哪一个大就取谁；想等的话先看Fn里面log的次数，最终的结果在log的基础之上+1就是最终结果log的次数。例题如右下角
3、要注意的一点就是：保证T（n）的形式要和定理里面的一样，一个大问题拆解成为几个相等的小问题。

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1、例题如上。
2、N！是阶数最高的，属于NP难问题。复杂度是最大的。
3、n的n次方乘以log n。

Fib数列递推公式的证明（斐波那契数列）

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

显然这是一个线性递推数列。

先回顾一下常微分方程：fib数列。假设y=e的lλx次方，解出y。
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然后我们猜测一下这个多项式是不是原方程的解呢？结果是。称这个多项式是原常微分方程的通解。

接下来我们猜测Fib数列的：猜测q的n次方，可以计算出来Fib数列的通项公式。

Fib数列前n项和公式及其证明：归纳法
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通过通项公式得出Fib数列前n项和：

一个更简单的方法：方程左边加上F1再减去F1,

Fib数列的偶数项和：

总之更多的Fib性质请参考组合数学。

二、P和NP问题

某一个问题根据时间复杂度进行分类。
1、NP：时间复杂度是指数项，比如2的n次方，n！等等，都是不可以解决的问题
2、P：时间复杂度是多项式的问题，比如n的平方，logn等等。
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三、案例分析

1、基于语料库：先搜集大量的问答对话，然后将用户输入的问题跟每个句子进行比对，返回相似度最高的问题的回答。
2、基于正则：正则表达式，自己写的一些规则。
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基于搜索的问答系统：
1、根据英文输入进行断句。
2、对分词结果进行预处理：拼写纠错、单词原型分析、过滤口水词（er/emm/oh）、过滤特殊符号（》、？，&*%）、同义词辨析等等。
3、单词和句子用向量表示（这样就可以用数学方法处理）：0/1，计数、tf-idf，w2w，s2s等等。
4、在语料库中对每一个句子进行相似度比对，求两个句子向量的欧氏距离、cosin距离、等等
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归并排序
它的时间复杂度是nlogn，因为原问题分解成为两个子规模相等的子问题。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdlib.h> 
#include <time.h>
using namespace std;

/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */

void merge(int arr[],int a,int b,int c){  
	int low = a;
	int mid = b+1;
	int k = 0;
	int arr_temp[c - a + 1];
	
	while(low <= b && mid <=c){
		if(arr[low] <= arr[mid]){
			arr_temp[k++] = arr[low++];
		}else{
			arr_temp[k++] = arr[mid++];
		}
	}
	
	while(low <= b){
		arr_temp[k++] = arr[low++];
	}
	while(mid <=c){
		arr_temp[k++] = arr[mid++];
	}
	
	for(low=a,mid=0;mid<=k-1;low++,mid++){
		arr[low] = arr_temp[mid];
	}
	
}


void merge_sort(int arr[],int a,int c){
    if (a < c){
        int b =(int) (a + c) / 2;
        merge_sort(arr, a, b);
        merge_sort(arr, b+1, c);
        merge(arr, a, b, c);
    }
}

int main(int argc, char** argv) {
	srand((unsigned)time(NULL)); 
	int num = (int)rand()/1000;  //随机生成数组大小，随机生成数组元素 
	int arr[num];
	for(int i = 0; i < num  ;i++ ) {
		arr[i] = (int)rand()/1000;
	}
	
	for(int i = 0; i < num  ;i++ ) {
		cout << arr[i] << " ";
	}
	cout<<"\n";
	
	merge_sort(arr,0,num-1);
	
	for(int i = 0; i < num  ;i++ ) {
		cout << arr[i] << " ";
	}
	return 0;
}