奇异值

定义 特征值分解是求解方阵的特征，对于非方阵而言可以通过奇异值分解描述矩阵的特征。 对于矩阵A为m*n的矩阵，可以分解成如下形式： A是一个m*n的矩阵，那么得到的U是一个m * m的方阵（里面的向量是正交的，称为左奇异向量），Σ是一个m * n的矩阵（除了对角线的元素外，其它都是0，对角线上的元素称为奇异值），VT是一个n * n的矩阵（里面的向量也是正交的，称为右奇异向量）。 右奇异向量求解 矩阵A左乘转置AT，将会得到一个方阵（n*n），通过该方阵求特征值和特征向量，该特征向量即A的右奇异向量。 上面的Vi构成的矩阵即A的右奇异矩阵。 右奇异向量和奇异值的求解 根据上面得到的特征值λ，计算奇异值σ，以及左奇异向量u： python代码实现 dataA = np.array([[1, 1], [1, 1], [0, 0]]) lvecs, vals, rvecs = np.linalg.svd(dataA) 来源： https://my.oschina.net/u/4228078/blog/3137876

本文链接：https://blog.csdn.net/rainpasttime/article/details/79831533 函数：np.linalg.svd(a,full_matrices=1,compute_uv=1)。 参数： a是一个形如(M,N)矩阵 full_matrices的取值是为0或者1，默认值为1，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N) 。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。 compute_uv的取值是为0或者1，默认值为1，表示计算u,s,v。为0的时候只计算s。 返回值： 总共有三个返回值u,s,v u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)。 A = u*s*v 其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。 例子： >>> from numpy import * >>> data = mat([[1,2,3],[4,5,6]]) >>> U,sigma,VT = np.linalg.svd(data) >>> print U [[-0.3863177 -0.92236578] [-0.92236578 0.3863177 ]] >>> print sigma [9

一、前言 奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，主要应用如下： 信息检索(LSA:隐性语义索引，LSA:隐性语义分析)，分解后的奇异值代表了文章的主题或者概念，信息检索的时候同义词，或者说同一主题下的词会映射为同一主题，这样就可以提高搜索效率 数据压缩：通过奇异值分解，选择能量较大的前N个奇异值来代替所有的数据信息，这样可以降低噪声，节省空间。 推荐系统：主要是降噪，矩阵变换至低维空间（分解后还原的矩阵元素值作为原本缺失值的一种近似），方便计算（目前没有意识到它对推荐精确度的提升有什么具体作用）。 二、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解的方法比较简单，有趣的是探究什么样的矩阵可以进行特征值分解以及矩阵进行特征值分解之后展现出的矩阵有意思的性质。特征向量矩阵S 是一个正交矩阵，一般写作 Q，也就是实对称矩阵的特征值分解可以写作： 首先，要明确的是，一个矩阵其实相当于一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个），如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。 特征值分解也有很多的局限

主成分分析（principal factor analysis），简称PCA，是机器学习中非常常见的压缩降维方法。为什么需要压缩降维？是由于高维的样本本身存在冗余、稀疏的特点，直接把高维样本用于拟合或者模式识别，极其容易出现过拟合。而在处理实际问题时，与学习任务相关的也许仅是高维样本的某个低维分布，因而需要降维。（举个例子，如……） PCA的降维思想是，在高维的样本空间中，寻找一个低维的超平面，把所有高维样本投影于此超平面上，得到低维样本，并且使投影误差最小，或者使投影得到的样本最大可分。 紧接着上述提到的两种性质，在描述PCA的降维思想时，有以下两种定义方式： 最小误差形式 最大方差形式 可以从数学推导上证明，两种定义方式最终导出的结果等价，可以得到一样的算法。（两种方法的数学推导过程有时间再补充……） （算法流程待补充……） 总结来说，主成分分析涉及到计算数据集的均值 x x 和协方差矩阵 S S ，然后寻找协方差矩阵的对应于 M M 个最大特征值的 M M 个特征向量，从而得到投影矩阵。 PCA与SVD的关系主要体现在求解特征向量的过程。在一般介绍PCA算法原理的资料中，均是要先求得样本的协方差矩阵，然后从协方差矩阵中求解得特征值和特征向量。然而，对于归一化的样本，协方差矩阵 S = X X T S = X X T （待补充数学证明），而某些SVD的实现方法可以从样本矩阵 X

特征值分解 学过线性代数的同学都知道，n阶方阵可以被特征分解为特征向量和特征值。特征向量可以组成特征矩阵，特征值组成对角矩阵，表示成下面的形式。如果是对称矩阵还可以分解成标准形。 奇异值分解 那么如果我们要处理的矩阵不是方阵它能不能被分解呢？当然可以。分解的方法被称为奇异值分解，即SVD。 奇异值分解在机器学习中的用途非常广泛，例如图像去噪，降维，另外还有推荐算法等。 假设有一个普通的矩阵A（m*n），我们可以将A表示成如下形式： 其中U、V为正交矩阵，E为m*n的对角阵。 证明上式： 图片来自张贤达老师的《矩阵分析与应用》 求解左奇异矩阵U和右奇异矩阵V 左奇异矩阵U：A*At得到一个m*m的方阵，于是我们对A*At进行特征值分解。即 ，我们能得到m个特征值和对应的m个特征向量。m个向量组成特征向量矩阵U。 右奇异矩阵V：At*A得到一个n*n的方阵，于是我们对At*A进行特征值分解。即 ，我们能得到n个特征值和对应的n个特征向量。n个向量组成特征向量矩阵V。 证明上方法能得到左右奇异矩阵 因为 ，所以有 为m*m方阵，对角线为 的特征值。可见分解 能够得到左奇异矩阵U。 为m*m方阵，对角线为 的特征值。 可见分解 能够得到右奇异矩阵V。 求解奇异值 将矩阵A乘以右奇异矩阵V，如下 将对应的左奇异向量和右奇异向量代入上面式子，可以求出对应的奇异值 lambda i

转载自 https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html 奇异值分解在数据降维中有较多的应用，这里把它的原理简单总结一下，并且举一个图片压缩的例子，最后做一个简单的分析，希望能够给大家带来帮助。 1、特征值分解（EVD） 实对称矩阵 在理角奇异值分解之前，需要先回顾一下特征值分解，如果矩阵A是一个m×m的 实对称矩阵 （即 ），那么它可以被分解成如下的形式: 其中Q为标准正交阵，即有 ，Σ为对角矩阵，且上面的矩阵的维度均为m×m。λi称为 特征值 ，qi是Q（特征矩阵）中的列向量，称为 特征向量 。 一般矩阵 上面的特征值分解，对矩阵有着较高的要求，它需要被分解的矩阵A为实对称矩阵，但是现实中，我们所遇到的问题一般不是实对称矩阵。那么当我们碰到一般性的矩阵，即有一个m×n的矩阵A，它是否能被分解成上式的形式呢？当然是可以的，这就是我们下面要讨论的内容。 2、奇异值分解（SVD） 2.1 奇异值分解定义 有一个m×n的实数矩阵A，我们想要把它分解成如下的形式 其中U和V均为单位正交阵，即有 和 ，U称为 左奇异矩阵 ，V称为 右奇异矩阵 ，Σ仅在主对角线上有值，我们称它为 奇异值 ，其它元素均为0。上面矩阵的维度分别为 , , 。 一般地Σ有如下形式 对于奇异值分解，我们可以利用上面的图形象表示，图中方块的颜色表示值的大小

转载：http://redstonewill.com/1529/ 普通方阵的矩阵分解（EVD） 我们知道如果一个矩阵 A 是方阵，即行列维度相同（mxm），一般来说可以对 A 进行特征分解： 其中，U 的列向量是 A 的特征向量，Λ 是对角矩阵，Λ 对角元素是对应特征向量的特征值。 举个简单的例子，例如方阵 A 为： 那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为： 1 import numpy as np 2 3 A = np.array([[2,2],[1,2]]) 4 lamda, U = np.linalg.eig(A) # 特征向量和特征值 5 print('方阵 A', A) 6 print('特征值 lamda', lamda) 7 print('特征向量 U', U) 8 9 # 输出 10 # 方阵 A [[2 2] 11 # [1 2]] 12 # 特征值 lamda [3.41421356 0.58578644] 13 # 特征向量 U [[ 0.81649658 -0.81649658] 14 # [ 0.57735027 0.57735027]] 特征分解就是把 A 拆分，如下所示： 其中，特征值 λ1=3.41421356，对应的特征向量 u1=[0.81649658 0.57735027]；特征值 λ2=0.58578644，对应的特征向量 u2=

SVD 是一种因子分解运算, 将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积 其中, 奇异值矩阵是对角线矩阵 Key_Function np.linalg.svd函数, 可以对矩阵进行奇异值分解. 　　U: 正交矩阵 　　sigma: 表示奇异值矩阵对角线的数组, 其他非对角线元素均为0 　　V: 正交矩阵 np.diag函数, 得出完整的奇异值矩阵 Code import numpy as np A = np.mat("4 11 14; 8 7 -2") print(A) ''' [[ 4 11 14] [ 8 7 -2]] ''' U, Sigma, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=False) print(U) ''' [[-0.9486833 -0.31622777] [-0.31622777 0.9486833 ]] ''' print(Sigma) # 这个Sigma只是奇异值矩阵对角线上的值 ''' [ 18.97366596 9.48683298] ''' print(np.diag(Sigma)) ''' [[ 18.97366596 0. ] [ 0. 9.48683298]] ''' print(V) ''' [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667] [ 0.66666667 0.33333333 -0

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $A=U\sumV^2$ 来源： https://www.cnblogs.com/xcxy-boke/p/11407636.html

我觉得线性代数中最主要的概念是 基变换 和 矩阵分解 。矩阵分解的本质就是基变换。选择不同的基，可以将矩阵分解为不同的形式。 几种不同的线性变换 A A A 是一个 m ∗ n m*n m ∗ n 的矩阵，与 A A A 相关的4个空间如下： 列空间C(A), 行空间R(A), 零空间N(A), A T A^T A T 的零空间 N ( A T ) N(A^T) N ( A T ) 奇异值分解是要在行空间和列空间各找一组基。 one set of basis of the row space of A: v 1 , v 2 , . . . , v r v_1, v_2,...,v_r v 1 ​ , v 2 ​ , . . . , v r ​ , and one set of basis of the column space of A: u 1 , u 2 , . . . , u r u_1, u_2,...,u_r u 1 ​ , u 2 ​ , . . . , u r ​ ，其中 r r r 是列空间和行空间的维度。 A v i = σ i u i , i = 1 , 2 , . . . , r Av_i=\sigma_i u_i, i=1,2,...,r A v i ​ = σ i ​ u i ​ , i = 1 , 2 , . . . , r V = [ v 1 , v