奇异矩阵

奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。 　　奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和 非奇 异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。　如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。　 　　如果A(n×m)为奇异矩阵（singular matrix）<=> A的秩Rank(A)<n. 　　如果A(n×m)为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> A满秩，Rank(A)=n. [1] 　　Eviews软件中当样本容量太少或是当变量间存在完全相关性时会提示“near singular matrix”，意为“近奇异矩阵”。计量经济学范畴 　　一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 　　一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个 自同构 。 　　一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 　　一个 矩阵正定 当且仅当它的每个特征值都大于零。 在矩阵对角线上增加一个正数，使该矩阵成为非奇异矩阵

一、奇异函数 定义：函数本身或其导数、积分 有不连续点（跳跃点）的一类函数。 奇异点：表现出奇异性的点。 二、奇异矩阵与非奇异矩阵 对象：方阵。 （一）奇异矩阵 定义：行列式等于0的矩阵。 判定：若 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣ A ∣ = 0 ，则 A A A 为奇异矩阵。 （二）非奇异矩阵 定义：n 行 n 列的非零矩阵 A A A ，若存在矩阵 B B B 使 A B = B A = I AB = BA =I A B = B A = I （ I I I 是单位矩阵），则称 A A A 是 可逆的/非奇异矩阵 。 判定： a. 一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 b. 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 c. 一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。 (R(A)<n则行列式为0) d. 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 参考 奇异函数 奇异矩阵与非奇异矩阵 来源： CSDN 作者： 梁小娘子 链接： https://blog.csdn.net/weixin_40680322/article/details/103752852

奇异矩阵是线形代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。 奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA = I（I 是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。 一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 求行列式的值 行列式的计算 一 化成三角形行列式法 先把行列式的某一行（列）全部化为 1 ，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点： 1 各行元素之和相等； 2 各列元素除一个以外也相等。 充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。 二 降阶法 根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。 三 拆成行列式之和（积）

拉普拉斯矩阵 图论的数学领域中的拉普拉斯矩阵（也被称为导纳矩阵，吉尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯）是图的矩阵表示。 拉普拉斯矩阵 结合 吉尔霍夫理论 可以用来计算图的最小生成树的个数。拉普拉斯矩阵还可用来寻找图的其他属性：谱图理论spectral graph theory. 黎曼几何的Cheeger不等式有涉及了拉普拉斯矩阵的离散模拟。这或许是谱图理论中最重要的定理也是在算法应用中最有用的facts.它通过拉普拉斯矩阵的第二特征值来近似图的最小割。 拉普拉斯矩阵是 度矩阵 和 邻接矩阵的差。度矩阵是一个对角矩阵，其包含了每个顶点的度。在处理有向图时，根据应用来选择入度或出度。 属性： 1.拉普拉斯矩阵是半正定矩阵。 2.特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数。 3.最小特征值永远是0，因为每个拉普拉斯矩阵对应特征向量[1,1,1,1,...,1]Lv=0. 4.最小的非0特征值称为谱隙spectral gap. 5. 6.最小非零特征值是图的代数连通度。 散射矩阵 假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|Ψ>in；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为 |Ψ>out。 入态到初态，相互作用可以用一个矩阵描述，记为S，那么就有： |Ψ>out=S |Ψ>in 奇异矩阵