偏序关系

偏序关系 Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB Submit Statistic Problem Description 给定有限集上二元关系的关系矩阵，确定这个关系是否是偏序关系。 Input 多组测试数据，对于每组测试数据，第1行输入正整数n（1 <= n <= 100），第2行至第n+1行输入n行n列的关系矩阵。 Output 对于每组测试数据，若为偏序关系，则输出yes，反之，则输出no。 Sample Input 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 Sample Output yes no Hint 偏序关系形式定义：设R是集合A上的一个二元关系，若R满足自反性、反对称性、传递性，则称R为A上的偏序关系。 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int i, j, k, n; int a[110][110]; while(~scanf("%d", &n)) { int flag = 1; for(i=0; i<n; i++) { for(j=0; j<n; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } for(i=0; i<n; i++)

9.6偏序关系(Partial Order) 偏序(Partial Order) 定义: 偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质: 自反性(reflexive) 反对称性(antisymmetric) 传递性(transtive) NOTE: R记作≼，注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”, 若有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y). 偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R一起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素. 线序/全序(Linear Order) 如果(A, ≤)是一个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b, a≤b 或者 b≤a,那么称为可比的(Comparable) 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可比的(Imcomparable) 如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可比的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain). 良序集(Well-ordered set) 定义

题目 学习了 \(\rm Dilworth\) 定理，即 偏序集的最小全序集划分等于最大反链长度 定理的内容看起来非常自闭，偏序集、全序集和反链都是个啥 偏序集其实非常常见，经典的二维偏序、三维偏序其实就是最基本的偏序关系，比如说一个二元组集合 \(A\) ，对于 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A\) ，当 \(x_1\leq x_2,y_1\leq y_2\) 时我们称 \((x_1,y_1)\leq (x_2,y_2)\) ，则 \((A,\leq )\) 为一个偏序集 如果存在 \(x_1\leq x_2,y_1>y_2\) ，我们就无法在 \((A,\leq)\) 这个偏序集中定义 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 的大小关系，那么就称 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 在 \((A,\leq)\) 中不可比 全序集是偏序集的一个子集，如果 \(B\subseteq A\) ，且 \(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in B\) ，存在 \((x_1,y_1)\leq (x_2,y_2)\) 或 \((x_2,y_2)\leq (x_1,y_1)\) ，即两两元素可比，则称 \(B\) 为 \(A\) 的一个全序集 如果对于 \(A\) 的一个子集，其中元素两两不可比，则称该子集为一个反链

参考了刘汝佳老师《算法艺术与信息学竞赛》。 离散变换与反演 有些时候，我们所求解问题的答案可以表示成一个类似前缀和的形式： \(f(x)=\sum a_ig(i)\) 。 更多时候， \(g(x)\) 是我们所需的答案，不易求出；而 \(f(x)\) 则可以通过另一种更好的方式求出来。如何根据 \(f(x)=\sum a_ig(i)\) 来推导出 \(g(x)\) 的解析式呢？这个反推的过程，我们可以叫做 反演 。我们用一个例子来具体说明。 我们已经用容斥原理得出了错排问题的答案，即在 \(n\) 个元素中的所有排列中，第 \(i(1 \leq i \leq n)\) 个元素不是 \(i\) 的排列数目 \(D_n\) 。现在我们来尝试用反演的方法。 我们反过来求：有且仅有 \(k\) 个元素处在正确位置的方案数为 \(\dbinom{n}{k}D_{n-k}\) ，即剩余的 \(n-k\) 个元素不允许再排在原来的位置。 易知，所有排列里，一定存在 \(0,1,\cdots,n\) 个元素恰好排在其位置的方案。我们把他们加起来得到： \[ P_n=n!=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}D_{n-k} \tag{*} \] 反演（解出 \(D_n\) ）得到： \[ D_n=n!\sum_{r=0}^n{(-1)^r \frac{1}{r!}} \tag{**}