欧拉定理

欧拉定理 若 \(\gcd(a,m)=1\) ，则满足 \(a^{\varphi (m)} \equiv 1 \pmod m\) 证明 设 \([1,m)\) 内与 \(m\) 互质的数为数列 \(\{b_n\}=\{b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{\varphi (m)}\}\) 因为 \(a,m\) 互质且 \(b_i,m\) 互质，所以数列 \(\{A_n\}=\{ab_1,ab_2,ab_3,\cdots,ab_{\varphi(m)}\}\) 中每个数都与 \(m\) 互质，且两两不同。 同时，由 \(\gcd(ab_i,m)=1\) 可得 \(\gcd(ab_i \bmod m,m)=1\) ，即每个 \(A_i\) 除以 \(m\) 的余数都与 \(m\) 互质，且余数两两不同。 可以用反证法推出“余数两两不同”。假设存在 \(ab_i \equiv ab_j \pmod m\) ，那么 \(ab_i-ab_j=km\ (k \in \mathbb{Z})\) ，即 \(a(b_i-b_j)=km\) 。由于 \(a\) 与 \(m\) 互质，那么只能是 \(m \mid (b_i-b_j)\) ，即 \(b_i \equiv b_j \pmod m\) 。这与 \(1 \leq b_i,b_j < m\) 且 \(b_i \neq b_j\)

题意 求 2 2 2... m o d p 2^{2^{2...}}\ mod\ p 2 2 2 . . . m o d p 思路 设 f ( p ) = 2 2 2... m o d p f(p)=2^{2^{2...}}\ mod\ p f ( p ) = 2 2 2 . . . m o d p 根据欧拉定理的推论， a b m o d p = a b % φ ( p ) + φ ( p ) m o d p ， ( b > φ ( p ) ) a^b\ mod\ p=a^{b\% \varphi(p)+\varphi(p)}\ mod\ p，(b>\varphi(p)) a b m o d p = a b % φ ( p ) + φ ( p ) m o d p ， ( b > φ ( p ) ) 所以 2 2 2.. m o d p = 2 f ( φ ( p ) ) + φ ( p ) m o d p 2^{2^{2..}}\ mod\ p=2^{f(\varphi(p))+\varphi(p)}\ mod \ p 2 2 2 . . m o d p = 2 f ( φ ( p ) ) + φ ( p ) m o d p 递归即可。 代码 # include <cstdio> int t , p ; int phi [ 10000001 ] ; int power ( int

题目 题目描述 给你三个正整数， a,m,b a , m , b，你需要求： a^b \bmod m a b mod m 输入格式 一行三个整数， a,m,b a , m , b 输出格式 一个整数表示答案 输入输出样例 输入 #1 复制 2 7 4 输出 #1 复制 2 输入 #2 复制 998244353 12345 98765472103312450233333333333 输出 #2 复制 5333 说明/提示 注意输入格式， a,m,b a , m , b 依次代表的是底数、模数和次数 样例1解释： 2^4 \bmod 7 = 2 2 4 mod 7 = 2 输出 2 数据范围： 对于全部数据： 1≤a≤10^9 1 ≤ a ≤ 1 0 9 1≤b≤10^{20000000} 1 ≤ b ≤ 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1≤m≤10^6 1 ≤ m ≤ 1 0 6 分析 首先，我们需要知道欧拉定理，扩展欧拉定理 欧拉定理 a φ ( m ) ≡ 1 mod m 扩展欧拉定理 b ≥ φ ( m ) 时 , a^ b ≡ a^ ( b mod φ ( m ) ) + φ ( m ) mod m 那我们来证明下欧拉定理 定义一个n= φ ( m ) 设x1,x2,x3...xn是小于m与m互质的数 然后我们再设k为与m互质的数 gcd(k,m)=1

测试地址： The Luckiest Number 题目大意： 给出一个正整数 L ( ≤ 2 , 000 , 000 , 000 ) //--> ，要使正整数 888...8        K 位 //--> 能整除 L //--> ，求最小的 K //--> ，如果不存在这样的 K //--> 则输出0。 做法： 这题的思路很神……没看题解的时候根本不知道怎么做，调也调了好一会，我好弱啊…… 这一题需要使用欧拉定理+快速幂来解决。 我们发现 999...9        K 位 //--> 可以表示为 10 K − 1 //--> ，所以 888...8        K 位 //--> 可以表示为 8 / 9 × ( 10 K − 1 ) //--> ，那么存在一个整数 p //--> 使得 8 / 9 × ( 10 K − 1 ) = L × p //--> ，所以 10 K − 1 = 9 / 8 × L × p //--> 。由于等式右边要是整数，那么 p //--> 应该满足 8 | ( L × p ) //--> 。因为 L //--> 已经包含 gcd ( L , 8 ) //--> 这些因子，所以 p //--> 需要包含 8 / gcd ( L , 8 ) //--> 这些因子，所以可以将 p //--> 写成