目标函数

⽜顿法是梯度下降法的进一步发展，梯度下降法利利用目标函数的一阶偏导数信息、以负梯度方向作为搜索方向，只考虑目标函数在迭代点的局部性质；而牛顿法不仅使用目标函数的一阶偏导数，还进一步利⽤了目标函数的二阶偏导数，这样就考虑了梯度变化的趋势，因⽽而能更全面地确定合适的搜索⽅方向加快收敛，它具二阶收敛速度。 但牛顿法主要存在以下两个缺点： 1. 对目标函数有较严格的要求。函数必须具有连续的一、二阶偏导数，海海森矩阵必须正定。 2. 计算相当复杂，除需要计算梯度以外，还需要计算二阶偏导数矩阵和它的逆矩阵。计算量、存储量均很⼤，且均以维数N的平⽅增加，当N很⼤时这个问题更加突出。 ⽜顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数， 计算复杂度较⼤ 。而且有时目标函数的海森矩阵无法保持正定， 从而使⽜顿法失效。 为了克服这两个问题，⼈们提出了拟⽜牛顿法。这个方法的基本思想是： 不⽤⼆阶偏导数而构造出可以近似海森矩阵或者海森矩阵的逆的正定对称阵，在拟⽜顿的条件下优化⽬目标函数。不同的构造⽅法就产生了不同的拟牛顿法。 也有人把“拟牛顿法”翻译成“准牛顿法”，其实都是表示“类似于牛顿法”的意思，因此只是对算法 中用来计算搜索方向的海森矩阵（或海森矩阵的逆）作了近似计算罢了。 来源： https://www.cnblogs.com/zjuhaohaoxuexi/p/11808215

最优化理论（optimization）研究的问题是判定给定目标函数的最大值（最小值）是否存在，并找到令目标函数取到最大值（最小值）的数值 。 目标函数（objective function）或评价函数 ，大多数最优化问题都可以通过使目标函数 f ( x ) f ( x ) 最小化解决，最大化问题则可以通过最小化 f ( x ) f ( x ) 实现。 全局最小值（global minimum） ，也可能找到 局部极小值（local minimum） ，两者的区别在于全局最小值比定义域内所有其他点的函数值都小；而局部极小值只是比所有邻近点的函数值都小。 无约束优化（unconstrained optimization）和约束优化（constrained optimization） 两类。无约束优化对自变量 x x 的取值没有限制，约束优化则把 x x 的取值限制在特定的集合内，也就是满足一定的约束条件。 线性规划（linear programming） 就是一类典型的约束优化，其解决的问题通常是在有限的成本约束下取得最大的收益。约束优化问题通常比无约束优化问题更加复杂，但通过拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）的引入可以将含有 n n 个变量和 k k 个约束条件的问题转化为含有 ( n + k ) ( n + k ) 个变量的无约束优化问题

大家好，继续理论学习，网络的设置接近了尾声，本次学习目标函数和正则化。 1.目标函数 (1)分类问题中的目标函数 这类问题中最常用的就是交叉熵函数了，也即softmax。假设共有N个训练样本，针对网络最后分类层第i个样本的输入特征为xi，其对应的真实标记为yi，hi为其网络对应的最终输出，C为分类任务的类别数。有了如上定义，其形式可写为： (2)回归问题中的目标函数 在分类任务中，最后的样本真实标记实际上是一条一维向量，仅在yi处标记为1其余地方均为0。但回归问题的输出就不一样了，也是一条一维向量，但其每一个元素都为实数，而不是仅为二值。 首先介绍残差的概念：即xi真实值和预测值的差 则回归常用的l1，l2目标函数定义如下：(M为标记向量总维度) 2.正则化 我们通常使用正则化来减小过拟合。 (1)l2正则化 l2正则化在深度学习中也叫权重衰减，就是通过对网络中权重w的正则来控制拟合程度。假设待正则的网络参数为w，则其表达式为： 其中λ用于控制正则项大小，λ越大对模型复杂度的约束就越大。 (2)l1正则化 l1除了和l2一样约束参数量级以外，还可以使参数更加稀疏，能够更好地去噪。 (3)dropout dropout可以使网络中节点随机失活，降低参数对网络的依赖，有效抑制过拟合。 简单介绍就是这样，我们下期见！ 文章来源: 深度学习理论――目标函数&正则化

Ŀ¼ 1. 基本概念： 2. 实际应用 1. 基本概念： 损失函数(loss function) ：计算的是一个样本的误差 代价函数(cost function) ：是整个训练集上所有样本误差的平均 目标函数 ：代价函数 + 正则化项 2. 实际应用 损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念，举例说明： 上面三个图的曲线函数依次为f1(x),f2(x),f3(x)，我们想用这三个函数分别来拟合真实值Y。 我们给定x，这三个函数都会输出一个f(X)，这个输出的f(X)与真实值Y可能是相同的，也可能是不同的，为了表示我们拟合的好坏，我们就用一个函数来度量拟合的程度。这个函数就称为 损失函数 ，或者叫 代价函数 。 损失函数越小，就代表模型拟合的越好。那是不是我们的目标就只是让loss function越小越好呢？还不是。这个时候还有一个概念叫 风险函数(risk function) 。风险函数是损失函数的期望，这是由于我们输入输出的(X,Y)遵循一个联合分布，但是这个联合分布是未知的，所以无法计算。但是我们是有历史数据的，就是我们的训练集，f(X)关于训练集的平均损失称作 经验风险(empirical risk) ，所以我们的 目标就是最小化经验风险 。 如果到这一步就完了的话，那我们看上面的图，那肯定是最右面的f3(x)的经验风险函数最小了

梯度下降算法其实也很好理解，以简单的二元函数为例，如果我们想找到二元函数的极值，一般第一步我们是对该二元函数求导，然后令其为0，找出此时自变量的值，将该自变量代入函数式，即可求出该函数的极值。 随机梯度下降算法是为了解决深度学习中多元目标函数的最优值问题，已经有很多该算法的变种算法。 那么在深度学习中，针对实际问题，我们首先需要建立一个模型，然后确定一个目标函数。目标函数通常是网络输出值和目标之间的误差，误差的形式有很多种，例如常见的有平方差、交叉熵等等。 训练模型的目的是使得目标函数达到极小值。对于一个深度神经网络，它的参数数目比较庞大，因此目标函数通常是一个包含很多参量的非线性函数。对于这个非线性函数，我们采用的是随机梯度下降算法来对参数进行更新。具体步骤如下： （1）对网络参数进行初始化，一般情况下，权重初始化为均值是0，方差为0.01的高斯分布随机值，而偏置统一初始化为0； （2）将参数代入网络计算前馈输出值，从而可以根据已有的目标标签得出目标函数值； （3）根据目标函数值以及各参数与目标函数所构成的树结构，运用后向传播算法计算出每个参数的梯度； （4）设置学习率大小（随着迭代的步骤增多，学习率通常要逐渐减小，这样可以有效避免训练中出现误差震荡情况），进行参数更新，最一般的更新方式是 新参数=旧参数-学习率×梯度； （5）重复进行第2~4步，直到网络收敛为止。

结论：损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念，对于目标函数来说在有约束条件下的最小化就是损失函数（loss function）。 　　 Loss function 损失函数是定义在单个样本上，算的是一个样本的误差。 Cost function 代价函数是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。 Object function 目标函数定义为：Cost function+正则化项 for example 　　 上面三个图的函数分别为f1(x) f2(x) f3(x)。用这三个函数来分别拟合Price，Price的真实值记为Y。 　　　 给定x，三个函数都会输出一个f(X)，这个输出的f(X)与真实值Y可能是相同的，也可能是不同的，为了表示拟合的好坏，我们用一个函数 来度量拟合的程度：损失函数。 　L(Y,f(X))=(Y-f(X)) 2 ，这个函数是损失函数(loss function),或者叫代价函数(cost function)。损失函数越小，拟合函数越好。 那是不是目标函数需要让cost function越小越好呢？肯定不是 　　加入一个新的概念：风险函数(risk function)。风险函数是损失函数的期望，因为我们输入输出的(X,Y)遵循一个联合分布，但是这个联合分布是未知的，所以无法计算。 　　 f(X

    这篇博文中直观上讲解了拉格朗日乘子法和 KKT 条件，对偶问题等内容。     首先从无约束的优化问题讲起，一般就是要使一个表达式取到最小值： m i n f ( x ) m i n f ( x )     如果问题是 m a x f ( x ) m a x f ( x ) 也可以通过取反转化为求最小值 m i n − f ( x ) m i n − f ( x ) ，这个是一个习惯。对于这类问题在高中就学过怎么做。只要对它的每一个变量求导，然后让偏导为零，解方程组就行了。 极值点示意图     所以在极值点处一定满足 d f ( x ) d x = 0 d f ( x ) d x = 0 （只是必要条件，比如 f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 在 x = 0 x = 0 处就不是极值点），然后对它进行求解，再代入验证是否真的是极值点就行了。对于有些问题可以直接通过这种方法求出解析解（如最小二乘法）。     但是也有很多问题解不出来或者很难解，所以就需要梯度下降法、牛顿法、坐标下降法之类的数值迭代算法了（感知机 、logistic 回归中用到）。     对于这些迭代算法就像下面这张图一样，我们希望找到其中的最小值。一个比较直观的想法是先找一个起点，然后不断向最低点靠近。就先把一个小球放到一个碗里一样。 迭代算法     一开始要找一个起始点

参考 原文 Automated Hyperparameter Optimization 超参数的优化过程：通过自动化 目的：使用带有策略的启发式搜索（informed search）在更短的时间内找到最优超参数，除了初始设置之外，并不需要额外的手动操作。 实践部分 贝叶斯优化问题有四个组成部分： 目标函数：我们想要最小化的对象，这里指带超参数的机器学习模型的验证误差 域空间：待搜索的超参数值 优化算法：构造代理模型和选择接下来要评估的超参数值的方法 结果的历史数据：存储下来的目标函数评估结果，包含超参数和验证损失 通过以上四个步骤，我们可以对任意实值函数进行优化（找到最小值）。这是一个强大的抽象过程，除了机器学习超参数的调优，它还能帮我们解决其他许多问题。 代码示例 数据集：https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-08-08-2 目标：预测客户是否会购买一份保险产品 监督分类问题 观测值：5800 测试点：4000 不平衡的分类问题，本文使用的评价性能的指标是受试者工作特征曲线下的面积（ROC AUC），ROC AUC 的值越高越好，其值为 1 代表模型是完美的。 什么是不平衡的分类问题？ 如何处理数据中的「类别不平衡」？ 极端类别不平衡数据下的分类问题S01：困难与挑战 hyperropt1125.py - 导入库 import

import pandas as pd import glob data_dir = './data/' file_paths = glob.glob(data_dir + '*.zip') file_paths = sorted(file_paths) df_list = [] print(len(file_paths)) for path in file_paths[-4:]: df_list.append(pd.read_csv(path, names = ['index', 'player_id', 'giftID', 'state', 'offer_time'], sep = ',', compression='zip', quotechar='"')) log = pd.concat(df_list) del df_list log = log[log['giftID'].isin(exchange['charge_id'])] print(log.shape) import json def parse_log(log): feature = log[['index', 'player_id', 'giftID', 'offer_time']] feature_dict = dict() keys = json.loads(log['state'].iloc[0])

CVAE-GAN: Fine-Grained Image Generation through Asymmetric Training 摘要 我们提出了一个变分生成对抗网络，一个包含了与生成对抗网络结合的变分子编码器，用于合成细粒度类别的图像，比如具体某个人的脸或者某个类别的目标。我们的方法构建一张图片作为概率模型中的一个标签成分和潜在属性。通过调整输入结果生成模型的细粒度类别标签，我们能够通过随机绘制潜在属性向量中的值来生成指定类别的图像。我们方法的创新点在于两个方面： 首先是我们提出了在判别器和分类器网络中使用交叉熵损失，对于生成器网络则使用平均差异目标函数。这种不对称损失函数能够使得训练出来的GAN网络更稳定。 其次是我们使用了encoder网络去学习潜在空间和真实图片空间中的关系，并使用成对的特性去保持生成图像的结构。 我们使用人脸、花和鸟的自然图片来训练，并说明了提出的模型有能力去生成有着细粒度类别标签的真实且不同的样本。我们进一步将展示我们的模型应用于其他任务的效果，如图像修复、高分辨率以及用于训练更好的人脸识别模型的数据增强。 1. Introduction 构建自然图像的有效的生成模型是计算机视觉中的主要问题。它目标是根据潜在的自然图像分布来调整一些潜在向量来生成不同的真实图片。因此，期望的生成模型是能够捕获钱在的数据分布。这可以说是一个很难的任务