矩阵特征值

文章摘自： http://blog.jobbole.com/88208/ 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 1） 特征值： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 它其实对应的线性变换是下面的形式： 因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是： 上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时，是拉长，当值<1时时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子： 它所描述的变换是下面的样子： 这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最 主要的

文章目录 1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹 一、 特征值和特征向量 二、矩阵的迹 1.7 正定矩阵和非负定矩阵 1.8 特征值的极值问题 1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹 一、 特征值和特征向量 ∣ A − λ I ∣ = 0 (1.6.1) |A-\lambda I|=0\tag{1.6.1} ∣ A − λ I ∣ = 0 ( 1 . 6 . 1 ) (1.6.1)有 p p p 根(可能有重),记作 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ p \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p λ 1 ​ , λ 2 ​ , ⋯ , λ p ​ 可能实,也可能复(虽 A A A 是实阵) 今后,一般取 x x x 为单位向量   A A A 和 A ′ A' A ′ 有相同特征值 A A A 和 B B B 是 p × q p\times q p × q 和 q × p q\times p q × p , 则 A B AB A B 和 B A BA B A 有相同非零特征值 证 可见,两个关于入的方程,-ABI=0和d-BA=0有着完全相同的非零根(若有重根 则它们的重数也相同)0,故而AB和BA有相同的非零特征值。 例1.6.2(有用结论)设A和B为两个かX矩阵,则AB和BA有完全相同的特征值。 例1.6.3设a=(2,-4,1),b=(3,5,

1.矩阵的逆 2.矩阵的秩 3.其他函数 4.特征值与特征向量 特征值和特征向量 相似矩阵和平衡矩阵 5.矩阵对角化 判断是否可以对角化 6.矩阵标准型 来源： CSDN 作者： 金_大虾 链接： https://blog.csdn.net/qq_21835111/article/details/104069138

github 两点贡献： 分割中Dual attention network for scene segmentation上的PAM和CAM用在reid上 一种更软的正则化方式 主要介绍后者(前者只是一个应用)。整个网络为： 其中OW和OF即为正则化，分别指的是正则化各种层如卷积，全连接层的权重(W)和正则化输出的特征图(F)。 出发点： 要求不仅有attention，还要attention Diversity。于是就要加上正则(约束)，以前也有正则的过程如孙弈帆大佬的SVD那篇论文，但这些都有一个SVD的分解过程，这各计算量非常大。 作者希望同一个更softer的方式达到目的。 以前怎么做的？ 什么意思？ 首先否定了hard的SVD分解方式，计算量太大。紧接着指出其他方法实在让F Gram矩阵近似成为一个单位矩阵，但这很难，因为F往往是不满秩的，而单位矩阵要求满秩，因此很难(但作者最后将F可视化的结果其实很近似单位阵)。 其中F是特征或权重的Gram矩阵，分别对应OF和OW。 什么是Gram矩阵？即矩阵分解为若干向量后，向量之间彼此做内积得到的偏心协方差矩阵。详见： 博客 很显然这是一个对称阵。 作者指出可以通过下式： 达到作者想要的attention多样性(广泛存在，attention更广)的目的。 解释一下： 其中 k ( F ) k(F) k ( F ) 表示F的条件数

题目 在数学中，矩阵的“谱半径”是指其特征值的模集合的上确界。换言之，对于给定的 n 个复数空间的特征值 { a1+b​1i,⋯,a​n+bni }，它们的模为实部与虚部的平方和的开方，而“谱半径”就是最大模。 现在给定一些复数空间的特征值，请你计算并输出这些特征值的谱半径。 输入格式： 输入第一行给出正整数 N（≤ 10 000）是输入的特征值的个数。随后 N 行，每行给出 1 个特征值的实部和虚部，其间以空格分隔。注意：题目保证实部和虚部均为绝对值不超过 1000 的整数。 输出格式： 在一行中输出谱半径，四舍五入保留小数点后 2 位。 输入样例： 5 0 1 2 0 -1 0 3 3 0 -3 输出样例： 4.24 思路 其实就是求最大平方和，最后再开方（不用每次都开方）。 开方用 cmath.h 中的 sqrt() ，最后保留2位小数即可。 代码 # include <iostream> # include <iomanip> # include <cmath> using namespace std ; int main ( ) { int n ; cin >> n ; float maxRadius = 0 ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { int a , b ; cin >> a >> b ; float radius = a

https://www.cnblogs.com/fuleying/p/4466326.html 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。 1. 特征值： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 写成矩阵形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值， 一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量 。 2. 特征分解： 特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵， 正交矩阵是可逆的。 Σ = diag(λ 1 , λ 2 , ..., λ n )是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。 首先，要明确的是， 一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。 　　当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个线性变化可能没法通过图片来表示，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向， 我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。 我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是之前说的： 提取这个矩阵最重要的特征。 总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，

## 矩阵SVD分解的理论基础 首先，我们先说明什么是矩阵的奇异值分解（single value decomposition），简称SVD。 给定一个矩阵 A ∈ R m × n A \in R^{m \times n} A ∈ R m × n , 设它的秩为r，则它具有以下的分解形式 A m × n = U m × m Σ m × n V n × n T A_{m \times n} = U_{m \times m} \Sigma_{m \times n} V_{n \times n}^T A m × n ​ = U m × m ​ Σ m × n ​ V n × n T ​ 其中，U是正交矩阵，其列向量是 A A T AA^T A A T 的单位特征向量，V 也是正交矩阵，其列向量是对应的 A T A A^TA A T A 的单位特征向量， Σ \Sigma Σ 具有下述的形式 Σ = ( Σ 1 O O O ) \Sigma = \left( \begin{array}{cc} \Sigma_1 & O \\ O & O\end{array} \right) Σ = ( Σ 1 ​ O ​ O O ​ ) 且 Σ 1 = d i a g ( σ 1 , σ 2 , … , σ r ) \Sigma_1 = diag(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 怎么求特征值和特征向量？ 实例： ξ是初始单位向量组 A是旋转矩阵。 基本性质： 非奇异也叫做满秩，非退化，可逆 矩阵的行列式与矩阵行列式的转置是一样的 最后结果得出：特征方程一样，则特征值一样。 运用根与系数关系公式直接套就可以。 迹-----所有的对角线元素都加起来。 例题： 方法一:如果不验证有可能不正确，不够严谨。 通过方法二可知等于1这个条件是多余的。 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/2914586/blog/783856

机器学习中所需要用到的数学知识： 微积分　　线性代数　　概率论　　最优化方法 1.导数 求导公式 （一元）左导数与右导数都存在且相等，此处的导数才存在。 基本函数求导： 两个重要极限： 　　单调有界的序列必定收敛 　　夹逼定理 导数四则运算： 复合函数求导： 高阶导数： 导数与函数单调性的关系： :函数在此点单调增 ：函数在此点单调减 极值定理： ：（驻点）函数在此点是极值点，可能是极大值（二阶导小于零），也可能是极小值（二阶导大于零）可能是拐点（二阶导等于零） 拐点是凹函数与凸函数的交替点。 导数与函数凹凸性的关系： 凸函数：函数内任意两点的连线，大于两点间的任一点的函数值。 凹函数：函数内任意两点的连线，小于两点间的任一点的函数值。 二阶导大于零，是凸函数。 二阶导小于零，是凹函数。 2.一元函数泰勒展开 3.向量 向量与其运算： 向量分为行向量和列向量。 转置：行向量转置变为列向量，列向量转置变为行向量。 加法：对应位置分量相加 减法：对应位置分量相减 数乘：数与每个分量分别相乘 内积：两个向量的对应分量相乘再相加，两个向量转换为一个标量 a=(a1,a2,...,an),b=(b1,b2,...,bn)-------->a与b内积=a1b1+a2b2+...+anbn 向量的范数 L-P:L的P范数: ，P一般取整数。 L-1范数： L-2范数： 3.矩阵 矩阵与其运算

版权声明： 本文由LeftNotEasy发布于 http://leftnoteasy.cnblogs.com , 本文可以被全部的转载或者部分使用，但请注明出处，如果有问题，请联系 wheeleast@gmail.com 前言： 上一次写了关于 PCA与LDA 的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic