1 矩阵代数

文章目录

• 1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹
• 一、 特征值和特征向量
• 二、矩阵的迹
• 1.7 正定矩阵和非负定矩阵
• 1.8 特征值的极值问题

1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹

一、 特征值和特征向量

$|A-\lambda I|=0\tag{1.6.1}$

• (1.6.1)有$p$根(可能有重),记作$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p$
  • 可能实,也可能复(虽$A$是实阵)
• 今后,一般取$x$为单位向量

 

• $A$和$A'$有相同特征值
• $A$和$B$是$p\times q$和$q\times p$,
  • 则$AB$和$BA$有相同非零特征值
• 证

可见,两个关于入的方程,-ABI=0和d-BA=0有着完全相同的非零根(若有重根
则它们的重数也相同)0,故而AB和BA有相同的非零特征值。
例1.6.2(有用结论)设A和B为两个かX矩阵,则AB和BA有完全相同的特征值。
例1.6.3设a=(2,-4,1),b=(3,5,-1)’,试求ab的特征值
解由于
ba=(3,5,-1)
因此,ab有一个非零特征值一15,而另两个特征值为零。
(3)若A为实对称矩阵,则A的特征值全为实数,p个特征值按大小依次表示为入1≥入2
≥入。若≠入,则相应的特征向量x和x必正交,即xx,=0。
证明(1)设入是A的任一特征值,x是相应的特征向量,于是
两边取共轭复数,并注意A为实数矩阵,得

二、矩阵的迹

• $\pmb{A}$为$p$阶方阵
• 对角线元素之和称$tr(\pmb{A})$

$tr(\pmb{A})=a_{11}+a_{22}+...+a_{pp}\tag{1.6.9}$

• 有性质

$tr(AB)=tr(BA)$
$tr(A')=tr(A)$

$tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
$上面的推广$

• $A=(a_{ij})_{p\times q}$
  • 则$tr(A'A)=tr(AA')=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^q a_{ij}^2$

1.7 正定矩阵和非负定矩阵

• 阶数=1时的正定(非负定)就是正数(非负数),
• 正定(非负定)可看成是正数(非负)向方阵的推广

 

性质

• $A$对称阵,
  • 则$A$正定(非负定),$\iff$$A$的所有特征值均正(非负)

 

1.8 特征值的极值问题

• 几个与特征值有关的极值问题

 

• $\pmb{x}$和$\pmb{y}$ $p$维

• 当且仅当y=cx(或x=cy),c为常数

 

 

• $A$是$p$阶对称,特征值$\lambda_1\ge \lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_p$
  • 正交特征向量$t_1,t_2,\cdots,t_p$
• 则

• 证

• 不妨设皆为单位

• $T=(t_1,t_2,\cdots,t_p)$,$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p)$,

  • 则$T$是正交阵,且$A=T\Lambda T'$

• 令

• 可得所以

• 可得

来源：CSDN

作者：fgh431

链接：https://blog.csdn.net/zhoutianzi12/article/details/104043825