具体数学

关于具体数学 《具体数学》是2013年人民邮电出版社出版的图书，是一本在大学中广泛使用的经典数学教科书．作者是Ronald L. GrahamDonald E. KnuthOren Patashnik。 目录 《具体数学:计算机科学基础:第2版》 第1章递归问题1 1.1 河内塔1 1.2 平面上的直线4 1.3 约瑟夫问题7 习题14 第2章和式18 2.1 记号18 2.2 和式和递归式21 2.3 和式的处理25 2.4 多重和式28 2.5 一般性的方法35 2.6 有限微积分和无限微积分39 2.7 无限和式47 习题52 第3章整值函数56 3.1 底和顶56 3.2 底和顶的应用58 3.3 底和顶的递归式66 3.4 mod：二元运算68 3.5 底和顶的和式72 习题79 第4章数论85 4.1 整除性85 4.2 素数88 4.3 素数的例子89 4.4 阶乘的因子93 4.5 互素96 4.6 mod：同余关系103 4.7 独立剩余105 4.8 进一步的应用107 4.9 ψ函数和μ函数110 习题119 第5章二项式系数126 5.1 基本恒等式126 5.2 基本练习143 5.3 处理的技巧154 5.4 生成函数164 5.5 超几何函数170 5.6 超几何变换180 5.7 部分超几何和式186 5.8 机械求和法191 习题202

递归问题 汉诺塔(HANOI) 命题 有三根杆子，第一根有大小从小到大共 \(n\) 个盘子，要求遵循以下3个规则，将在第一个杆子上全部的盘子移至第三个杆子。 每次只能移动一个盘子。 每次只能移动每个杆子最上面的盘子。 每根杆子上的盘子下面大，上面小。 求问题的最小步数。 例子: 当 \(n=3\) 时，移动方法如下图所示。 最小移动次数为 \(7\) ，故 \(n=3\) 时命题的解为 \(7\) 。 解决 方法：命名并求解 命名 设 \(H(n)\) 为 \(n\) 个盘子时汉诺塔问题的解. 三个杆子的编号分别为 \(A,B,C\) . 第 \(i\) 层盘子为 \(h_i\) . 求解 显然, \(H(1)=1\) 观察可得,将 \(n\) 个盘子从 \(A\) 移动到 \(B\) 相当于将 \(h_1,h_2\cdots h_{n-1}\) 移动至 \(B\) 后,将 \(h_n\) 移至 \(C\) ,再将 \(h_1,h_2\cdots h_{n-1}\) 移至 \(C\) . 由定义知,将 \(h_1,h_2\cdots h_{n-1}\) 从 \(A\) 移至 \(B\) 需 \(H(n-1)\) 步. \(\therefore H(n)=2H(n-1)+1\qquad H(1)=1\) 检验 已知 \(H(3)=7\) \[\because H(n)=2H(n-1

UTF8gbsn Infinite sum examples The infinite sum S = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+... S = 1 + 2 1 ​ + 4 1 ​ + 8 1 ​ + 1 6 1 ​ + 3 2 1 ​ + . . . is equal to 2, because if we double it we get 2 S = 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . = 2 + S 2S=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=2+S 2 S = 2 + 1 + 2 1 ​ + 4 1 ​ + 8 1 ​ + 1 6 1 ​ + 3 2 1 ​ + . . . = 2 + S However, if we look at T = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . T=1+2+4+8+16+32+... T = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 2 + . . . , we

UTF8gbsn 在《具体数学》中第二章第四节主要介绍一些基本的和形式。这一节的内容应该熟记与搞清楚。 common sums ∑ j ∈ J , k ∈ K a j b k = ( ∑ j ∈ J a j ) ( ∑ k ∈ K b k ) \sum_{j\in J,k\in K}a_{j}b_{k}=(\sum_{j\in J}a_j)(\sum_{k\in K}b_k) j ∈ J , k ∈ K ∑ ​ a j ​ b k ​ = ( j ∈ J ∑ ​ a j ​ ) ( k ∈ K ∑ ​ b k ​ ) mapping ∑ j ∈ J ∑ k ∈ K ( j ) a j , k = ∑ k ∈ K ′ ∑ j ∈ J ′ ( k ) a j , k \sum_{j\in J}\sum_{k\in K(j)}a_{j,k}=\sum_{k\in K^{'}}\sum_{j\in J^{'}(k)}a_{j,k} j ∈ J ∑ ​ k ∈ K ( j ) ∑ ​ a j , k ​ = k ∈ K ′ ∑ ​ j ∈ J ′ ( k ) ∑ ​ a j , k ​ [ 1 ⩽ j ⩽ n ] [ j ⩽ k ⩽ n ] = [ 1 ⩽ j ⩽ k ⩽ n ] = [ 1 ⩽ k ⩽ n ] [ 1 ⩽ j ⩽ k ] [1\leqslant j\leqslant n]

1.河内塔问题 数学归纳法：①对最小规模时成立；②设对 \(n=[1,k]\) 时成立，证明对于 \(n=k+1\) 时也成立。于是问题对任意规模都成立。 它可以与递归的模型天然地结合在一起。 实际问题->递归式->数学归纳法->通项公式 通过处理递归式的某些项会使得数学归纳更加简单。 2.平面上的直线 展开递归式是求通项公式的好方法。 对于不易直接分析的实例，可以讨论“损失”了多少。 3.JOJO问题 对于一个递归式，把它的部分常量替换为未知数，希望求出它的通项公式中每个未知数的系数。 此时可以把每个未知数取一些特殊值，代入递归式中。 更加通用的方法是找一些简单的函数，令它满足递归式，借此列出方程，解出未知数的值。通过这种方式寻找未知数系数之间的联系，从而列出关于未知数系数的方程。 注意到有多少独立的未知数，我们就需要列出多少组方程。 同时，解除递归式中一些既定的限制（进制等），可以将递归式推广到更为一般的情况。 4.热身题 问题出在“类似的”，数学归纳法只能假设 \([1,k]\) 内的马是相同颜色，如果要推广到 \([2,k+1]\) 的情况，则需要证明 \(k+1\) 号马与前面颜色均相同。 发现对规模为 \(k\) 的问题，流程如下：①将 \([1,k-1]\) 移动到 \(B\) 柱；②将 \(k\) 移动到中间柱；③将[1,k-1]移动到 \(A\) 柱；④将 \(k