后缀数组

前言 谈到字符串模式匹配算法，莫过于最经典的KMP算法，它由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt三位大牛于1977年联合发表提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法），KMP算法可以在O(n+m)的时间复杂度以内完成字符串的匹配操作，其核心思想在于：当一趟匹配过程中出现字符不匹配时，不需要回溯主串的指针，而是利用已经得到的“部分匹配”，将模式串尽可能多地向右“滑动”一段距离，然后继续比较。 说到KMP,也得需要提一下字符串的模式匹配的意义，这也是我们学习KMP及各种字符串匹配算法的意义。字符串的模式匹配是对字符串的基本操作之一，广泛应用于生物信息学、信息检索、拼写检查、语言翻译、数据压缩、网络入侵检测等领域，如何简化其复杂性一直是算法研究中的经典问题。字符串的模式匹配实质上就是寻找模式串T是否在主串S 中，及其出现的位置。由于对字符串匹配的效率要求越来越高， 所以需要不断地改良模式匹配算法，减少其时间复杂度。 说到KMP，也感觉到数学世界的美妙，我们的祖先早在2000多年前就用阴阳（0,1）虚拟的分割了这个世界，而西方近代却用0、1（阴阳）在计算机里虚拟合成了这个世界；还有数学里的那些很奇怪而有趣的问题，比如杨辉三角， Kaprekar 常数，“421陷阱”等，不知道是不是与它们最终都能转化为0、1（阴阳）有关。好了，言归正传

题目传送门 题意： 字符串 初始是空串。 给你一个字符串 ，可以选择从串首或串尾拿走一个字符，把这个字符拼接到 的尾部。 输出最小字典序的 。 数据范围：字符串长度不超过 。 题解： 当前串首和串尾的字符不同，那么选择字典序小的那个字符就好了。 如果串首和串尾的字符相同，设串首字符是 ，串尾字符是 。 我们需要比较内层字符的大小，即比较 和 的大小。 如果还相同，那就继续向内层比较，直到找到不同的字符，如果一直相同，那选串首和选串尾是一样的。 暴力做是 。因为每次选字符时要向内层比较的次数是 。选 次那就是 。 考虑后缀数组优化。 我们把 的正序和 的倒序拼接成字符串 。 举例子： ，那么 。 模拟一遍就知道是怎么优化的了。 字符串下标从 开始，初始时 。 现在 ，然后我们比较 和 的大小关系。 其实我们就是在比较 和 的大小关系。这个后缀数组预处理后，就可以 比较了。 时间复杂度： 。 感受： 想不到用后缀数组。 并且题面的数据范围是错的。我开50W一直RE。 代码： #include<bits/stdc++.h> using namespace std ; typedef long long ll ; const int maxn = 1e6 + 5 ; int rk[maxn << 1] , sa[maxn << 1] , height[maxn << 1] ; int

题目传送门 题意： 给你一个字符串，输出加密后的字符串。 例如‘JSOI07’，可以读作： JSOI07 SOI07J OI07JS I07JSO 07JSOI 7JSOI0 把它们按照字符串的大小排序： 07JSOI 7JSOI0 I07JSO JSOI07 OI07JS SOI07J 读出最后一列字符：I0O7SJ，就是加密后的字符串。 数据范围：字符串的长度不超过 。 题解： 给一个字符串 ，我们扩大二倍，变成 。 然后考虑后缀排序，输出想要的东西。 设 。 那么当后缀长度大于 时，后面多出的部分不会影响排序。 简单分析一下： 设 ，则 。 现在有一个后缀是 。 我们想要的其实是 ，分析最后的三个字符 的影响。 观察发现 是 的前缀，那也就是说后面不想要的部分是想要的部分的前缀，那就由自身决定了，那就没影响了。 然后掏出后缀数组板子，求出sa就行了。 感受： 反复看了几遍都是5个0，结果1e5是RE，开成1e6才过去。 代码： #include<bits/stdc++.h> using namespace std ; typedef long long ll ; const int maxn = 1e6 + 5 ; int rk[maxn << 1] , sa[maxn << 1] , height[maxn << 1] ; int tmp[maxn << 1] , cnt

KMP算法得核心就是对PMT得理解，下面介绍PMT： 大家只需要记住一点，PMT是什么东西。然后自己临时推这个算法也是能推出来的，完全不需要死记硬背。KMP算法的核心，是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组。我觉得理解KMP的最大障碍就是很多人在看了很多关于KMP的文章之后，仍然搞不懂PMT中的值代表了什么意思。这里我们抛开所有的枝枝蔓蔓，先来解释一下这个数据到底是什么。对于字符串“abababca”，它的PMT如下表所示： 就像例子中所示的，如果待匹配的模式字符串有8个字符，那么PMT就会有8个值。 我先解释一下字符串的前缀和后缀。如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的前缀。例如，”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我们把所有前缀组成的集合，称为字符串的前缀集合。同样可以定义后缀A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的后缀，例如，”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然后把所有后缀组成的集合，称为字符串的后缀集合。要注意的是，字符串本身并不是自己的后缀。 有了这个定义，就可以说明PMT中的值的意义了。 PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度 。例如，对于”aba”，它的前缀集合为

Tim正在自学《数据结构》，他刚刚学会如何比较两个字符串大小。书上是这么说的（和Pascal语言中的比较规则相同，学习过Pascal语言的同学可以跳过这段）： 比较两个不同字符串s1=’p1p2p3…pN’和s2=’q1q2q3…qM’的大小，设N<=M。 若s1是s2的前缀，则s1qi，且i最小；若pis2。 Tim想通过练习熟练运用这个规则，于是打算出许多字符串，并将它们从小到大排序。可是Tim非常懒，随机写出 K个很长的字符串实在是太麻烦了。不过聪明的他想到了一个好办法，他写了一个很长的字符串，自言自语说，“我只要把这个字符串的所有后缀从小到大排序就可以了”。 Input 仅有一行，且是一个仅包含小写字母的字符串，长度K不超过10^5。 Output 有K行，每行一个数字，第i行的数字Pi表示所有后缀中，第i小的是由原字符串第Pi个字符引导的后缀。 Sample Input mississippi Sample Output 11 8 5 2 1 10 9 7 4 6 3 Sol: sa[i]=j...排名第i的后缀是从原串中的第j个位置开始的 rank[i]=j...原串中第i个位置开始的后缀，排名为j 两者是个互逆的函数，整个程序就是两个数组倒来倒过 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include

如果不算pre指针的话后缀自动机就是一个DAG，这是它能很方便地进行dp的前提。 而pre指针返回什么呢，返回的就是上一个的前缀包含改结点所代表子串的那个后缀，和AC自动机上的fail指针很像，都是为了匹配。我目前学得不深，看不出和AC自动机的fail指针有什么区别，用起来也几乎一样。 相比于字典树和回文树，后缀自动机每个结点会有多个父结点，可以表示多种子串(从根节点到它的每条路径都是一个子串)，因此子串的信息只能在路径中记录，比如长度，而该子串说记录的长度step，则是根结点到它的最远距离，而某个子串的长度就是该代表该子串的路径的长度了，并不一定是某个结点的step。 spoj1811 求两个串的最长公共子串的长度。 对A串建立后缀自动机，对B串进行匹配，如果匹配失败，沿着失败指针往回走到第一个能匹配的位置继续匹配(看起来似曾相识？没错，这不是AC自动机的过程吗。。。)，当然如果到根节点还不能继续匹配，那就只有从头再来了。这里随时记录长度更新答案即可。 当然后缀数组也可以做，把两个串拼接起来，求lcp即可。。。然后后缀自动机好快。。。。在spoj上居然60ms过了。。。 #include<bits/stdc++.h> #define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))

研究了好几天的后缀数组，今天终于是把代码实现给看明白了了。 大多数博客都讲解了了后缀数组以及倍增法，但是对于代码的讲解不是很明白。 这篇就把LRJ蓝书上的代码拆开来一句一句的进行解释。 关于倍增算法我建议去看lrj的数，写的非常清晰明了；基数排序可以去看看百度百科，其实和桶排序是一家子。 代码： char s[maxn]; int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn],n; void print(int *arr){ for(int i=0;i<n;i++) cout<<arr[i]<<" "; cout<<endl; } void getSa(int m){ int *x=t,*y=t2; for(int i=0;i<m;i++) c[i]=0; for(int i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++; for(int i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1]; for(int i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i; cout<<"sa:";print(sa); cout<<"x:";print(x); for(int k=1;k<=n;k<<=1){ int p=0; for(int i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i; for(int i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k

看了好久，吐了，这个东西打脑阔得很。 首先得介绍一下 基数排序 //#include<bits/stdc++.h> # include <iostream> # include <cstdio> using namespace std ; //基数排序：一种稳定的，非比较的排序方式。分为LSD和MSD两种方式，LSD通过从最低为开始，MSD从高位开始排， //将所有数的同一位分配到桶中，并通过合并桶的方式进行一个部分排序，持续这样的操作直到最高位 int getmax ( int a [ ] , int n ) { int res = 1 , p = 10 ; for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) { while ( a [ i ] >= p ) { res ++ , p * = 10 ; } } return res ; } int main ( ) { int a [ 1000 ] , count [ 1000 ] , tmp [ 1000 ] ; int radix = 1 ; const int N = 10 ; for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) scanf ( "%d" , & a [ i ] ) ; int maxbit = getmax ( a , N ) ; //cout<<maxbit<<endl;

后缀是从字符串的某个位置到字符串末尾的非空子串。例如：$suff(HORSE) = \{E, SE, RSE, ORSE, HORSE\}$。 后缀数组是包含字符串所有已排序后缀的数组。例如：$sa(CAMEL) = \{1-AMEL, 0-CAMEL, 3-EL, 4-L, 2-MEL\} = \{1, 0, 3, 4, 2\}$。 首先可以想出一种基于快速排序的后缀数组求法，但是时间复杂度为$O(n^2logn)$。可用一种倍增算法来优化，时间复杂度$O(nlogn)$，待补。 后缀数组用于事先不知道模板P的多模板匹配问题，此时需要处理文本串T。 sa是后缀排名到位置的映射 x是第一关键字位置到排名(数值)的映射 y是第二关键字排名到位置的映射 c是基数排序的桶 例题：洛谷P3809 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1000050; char s[N], p[N]; int sa[N], x[N], y[N], c[N], n; void build_sa(int m) { n = strlen(s + 1); for(int i = 1; i <= n; i++) c[x[i] = s[i]]++; for(int i = 2; i <= m; i++) c[i] += c[i-1];

题目描述 给一个小写字母字符串 S ，q 次询问每次给出 l,r ，求 s[l..r] 的 Border 。 Border: 对于给定的串 s ，最大的 i 使得 s[1..i] = s[|s|-i+1..|s|], |s| 为 s 的长度。 题解 这题的描述很短，给人一种很可做的假象。 暴力1：每次对区间lr做一次KMP，求出border数组，复杂度nq。 暴力2：构建后缀自动机，用线段树合并维护出right集合考虑到两个串的最长后缀为他们在parent树上的LCA的len，所以我们可以在parent树上跳father，相当于枚举LCA，那么如果有匹配的点，则一定满足： i-len[LCA]+1<=l => i=len[LCA]<l => i<l+len[LCA] i>=l&&i<r （i为我们要求的点，l为询问的左端点，LCA为i和r的LCA） 所以我们只需要在线段树上查子树内查询满足上述条件的最大的i就可以了，复杂度最好qlogn，最差qn。 这两种暴力好像差不多。。 我们观察到第二种暴力它的瓶颈在于枚举LCA，但查询只需要一个log，我们可以想一些办法把复杂度均摊一下。 链分治 这就是这道题的重头戏，它用到了一个重要的性质，我们将一棵树重链剖分之后，从根到任意一点的路径上，轻重链切换的次数是不超过log的。 然后我们就可以用它搞一些事情。 比如说这道题