函数极限

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 三、数列极限(1.64-1.91) 换元，拆分，等价替换。 分母无理化，化简代值。 分母无理化，e的重要极限。 ？？？拉格朗日中值定理。 两次比较，用夹逼定理卡值，最快。笨一点的方法，改写，然后求导化简估值。 要分x=0与不等于0两种情况，同乘sinx/2^n。 换元后，硬求导求两次。或者同1.67，用拉格朗日中值定理，函数差值转化为导数与差的乘积。 提取、化简、往e^x-1靠，再两次等价替换。 极限的保号性？？？ 有待细查 。排除其他可举反例。 xₙ>0，所以数列xₙ有下界，是因为0肯定是xₙ的下界？？？  若单调数列a_n有界，则极限存在，记 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=A\) ，则 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n^2}=\dfrac{1}{1+A^2}\) ，存在；若单调数列a_n无界，则极限不存在， \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=+ \infty或-\infty\) ，此时有 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 一、函数极限(1.1-1.46) 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 另一种方法，一次求导之后再拆分。 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 \({\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}\) 故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。

# 2020张宇1000题·数一·刷题记录 ## 第一篇 高等数学 ### 第1章 极限、连续 #### 一、函数极限(1.1-1.46) 1. 分母等价替换，分子泰勒展开到x²项，或对式子求两次导。 2. 分母虽然是相减但是满足要求，可以直接用等价替换。分子两个函数都得泰勒展开到x³项，或对式子求三次导。答案的求导再拆分再求导太麻烦了。 3. (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 4. 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 5. 另一种方法，一次求导之后再拆分。 6. 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 ${\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0·有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}$ 故分子相减不能用等价无穷小替换

为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。 在深入探索这个题目的过程中

总结 所有技巧或结论无法使用的题，应从源头（定义法）考虑 1+变原则： 把所有变+1化为1+变 所有 幂指函数→指数函数 再做，以免错误 求极限取最大 看好并写出 定义域 再做题 注意 对数ln 中若 有分数 ，则试着 拆项 。有的比较隐蔽不易发现，如1+1/n 求积分： 换元（根号、arc）、拆项、凑导常、配方（分母为根号，或者二次函数，且不可拆项）、倒代换1/(x...) 极限 \(0 \over 0\) 、 \(∞ \over ∞\) 、 \(0·∞\) 、 \(∞-∞\) 、 \(1^∞\) 、 \(∞^0\) 、 \(0^0\) 将将 二元双平方函数 (如椭圆 \(x^2/2+y^2=1\) )的切点(√2cosθ,sinθ)设为 参数方程形式 ，可避免平方与根号 等比求和公式 \(Sn={{a_1(1-q^n} \over {1-q}}={{a_1-a_nq} \over {1-q}}\) A是B的 充分（必要）条件：A→B（B→A） 根号 运算（从根号中提出）：要带|| 距离、面积： 要带|| 可微必连续，连续必可积 注意：极坐标不能求导 ，所以要把 极坐标→参数方程 r=r(θ)→x=r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ 而 参数方程不能二重积分 ，所以要把 参数方程→直角坐标 设y=y(x)，则 \(∫dx∫^{y(x)}...dy\) 函数、极限、连续 函数

# 2020张宇1000题・数一・刷题记录 ## 第一篇 高等数学 ### 第1章 极限、连续 #### 一、函数极限(1.1-1.46) 3. (0-0)/0型，拆分分母变成两个极限相加，左边提取往e^x-1~x上靠，然后左右两遍都可以直接等价替换了。 4. 方法一中的泰勒展开式，展开到第二项与第三项，结果算出来是不一样的。应该是分子无穷小的阶数要大于等于分母的阶数才行。 5. 另一种方法，一次求导之后再拆分。 6. 式子太复杂不可能用求导，而分子分母都是加减形式，所以要先判断分子分母情况，才能确定能否直接等价替换。 ${\begin{cases}{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{(3+tanx)^x}{3^x}=\dfrac{1}{1}=1}&分子相减等于0。 \\{\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{3sin^2x}{x^3cos\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3}{xcos\dfrac{1}{x}(0・有界)}=\infty \neq-1}&分母相加不等于0。 \end{cases}}$ 故分子相减不能用等价无穷小替换，换个思路，提取3的x次方，往e^x-1~x上靠。 而分母相加可以用直接用等价无穷小替换。 7. 别想太复杂，一次求导以后直接代值。 8. 积分式求导，被积分的式子里面的积分也要相应的替换。 9.

以下资料来自 Dahua 的博客，非常可惜后来该博客关闭了。 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子