高斯数学

尺度不变特征变换匹配算法详解 Scale Invariant Feature Transform(SIFT) Just For Fun 转自： http://blog.csdn.net/zddblog/article/details/7521424 对于初学者，从 David G.Lowe 的论文到实现，有许多鸿沟，本文帮你跨越。 1 、 SIFT 综述 尺度不变特征转换 (Scale-invariant feature transform 或 SIFT) 是一种电脑视觉的算法用来侦测与描述影像中的局部性特征，它在空间尺度中寻找极值点，并提取出其位置、尺度、旋转不变量，此算法由 David Lowe 在 1999 年所发表， 2004 年完善总结。 其应用范围包含物体辨识、机器人地图感知与导航、影像缝合、 3D 模型建立、手势辨识、影像追踪和动作比对。 此算法有其专利，专利拥有者为英属哥伦比亚大学。 局部影像特征的描述与侦测可以帮助辨识物体， SIFT 特征是基于物体上的一些局部外观的兴趣点而与影像的大小和旋转无关。对于光线、噪声、些微视角改变的容忍度也相当高。基于这些特性，它们是高度显著而且相对容易撷取，在母数庞大的特征数据库中，很容易辨识物体而且鲜有误认。使用 SIFT 特征描述对于部分物体遮蔽的侦测率也相当高，甚至只需要 3 个以上的 SIFT 物体特征就足以计算出位置与方位

learning to see.pdf @lutingting 2016-11-04 16:15 字数 10899 阅读 4087 SIFT特征提取及匹配 数字图像处理 图像特征提取 SIFT特征提取及匹配 1.SIFT（Scale-invariant feature transform）算子的核心思想 2.什么是尺度空间呢？ 2.1 一篇百度文库的文章关于尺度空间的分析 例子1 例子2 现实生活中的例子 2.2 SIFT中的尺度空间的概念 3.SIFT特征提取 3.1 尺度空间极值检测 3.1.1 尺度空间的建立（高斯金字塔的建立） 3.1.2 图像差分高斯金字塔（DoG）的建立 3.1.3 尺度空间中特征点的检测（DoG中极值点的检测） 3.2 关键点位置及尺度确定 3.3 关键点方向确定 3.4 特征向量生成 4.SIFT特征的匹配 5.下面是一些参考程序 5.1 5.2 1.SIFT（Scale-invariant feature transform）算子的核心思想 利用不同尺度的高斯核函数对图像进行平滑，即构造图像的尺度空间 比较不同尺度平滑后的图像差别，在某局部范围内，差别最大或者差别最小的像素点就是特征明显的点 由于SIFT特征的检测方式，使得它具有： 尺度不变性：在尺度空间内进行的特征点检测 2.什么是尺度空间呢？ 2.1 一篇百度文库的文章关于尺度空间的分析

loc 平均值 scale (scale) 标准差 pdf(x, loc=0, scale=1) 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 from scipy.stats import norm import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt dmean=0.5 dstd=1 x=np.arange(-5,5,0.01) y=norm.pdf(x,dmean,dstd) plt.plot(x,y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.show()

事实上，棣莫弗早在1730年~1733年间便已从二项分布逼近的途径得到了正态密度函数的形式，到了1780年后，拉普拉斯也推出了中心极限定理的一般形式，但无论是棣莫弗，还是拉普拉斯，此时他们这些研究成果都还只是一个数学表达式而非概率分布，也就是压根就还没往误差概率分布的角度上去思索，而只有到了1809年，高斯提出“正太误差”的理论之后，它正太理论才得以“概率分布“的身份进入科学殿堂，从而引起人们的重视。 追本溯源，正态分布理论这条大河的源头归根结底是测量误差理论。那高斯到底在正态分布的确立做了哪些贡献呢？请看下文。 1801年1月，天文学家Giuseppe Piazzi发现了一颗从未见过的光度8等的星在移动，这颗现在被称作谷神星（Ceres）的小行星在夜空中出现6个星期，扫过八度角后在就在太阳的光芒下没了踪影，无法观测。而留下的观测数据有限，难以计算出他的轨道，天文学家也因此无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了学术界关注的焦点。高斯当时已经是很有名望的年轻数学家了，这个问题也引起了他的兴趣。高斯一个小时之内就计算出了行星的轨道，并预言了它在夜空中出现的时间和位置。1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯(Heinrich Olbers)在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空。果然不出所料，谷神星出现了！ 高斯为此名声大震

今天我们来做一道题目。 输入正整数 \(n\) ( \(\le 10^{15}\) )，求 \(x^2+y^2=n^2\) 的整数解的个数。 也就是圆心为原点，半径为 \(n\) 的圆上整点的数量。 为了得到更普遍的结论，我们改为 \(x^2+y^2=n\) 来做。 我们引入一个概念，叫做 【定义1】 高斯整数：形如 \(a+bi\) 的数称为高斯整数，其中 \(a,b\in Z,i=\sqrt{-1}\) 。 于是就转化为了求 \((a+bi)(a-bi)=n\) 中 \(a,b\) 的数量。 注意到 \(n,a+bi,a-bi\) 都是高斯整数，就联想到对高斯整数 \(n\) 进行质因数分解。 【定义2】 高斯素数：高斯整数中，不能分解为两个高斯整数的乘积（ \(1,-1,i,-i\) 除外）的，称为高斯素数。 至于为什么 \(1,-1,i,-i\) 除外，就像整数分解中 \(1,-1\) 除外一样，因为这些东西是单位元，对分解形式没有什么大的影响，所以就去除了。 如何对整数 \(n\) 进行高斯素数的分解呢？注意到 \(n=p_1p_2\ldots p_k\) 有唯一分解形式，只要考虑质数 \(p\) 如何进行高斯素数的分解。于是就有了 【定理1】（费马二平方和定理） 对于质数 \(p\) ，若 \(p\equiv 1(\mathrm{mod} \ 4)\) 或 \(p=2\

让我们回到小球检测的栗子，在一元高斯分布下，我们只使用了色相值这一个性质。然而，颜色其实是用多个维度来定义的。比如，在HSV模型下，除了色相值还有饱和度（Saturation）和亮度（Value）。而我们通常使用的三原色光模式（RGB模型）将颜色表示成红色（R）、绿色（G）和蓝色（B）的叠加。如果我们用RGB值来表示一个颜色，怎样表示我们栗子中的小球呢？我们将图片中所有像素点的RGB值用散点图的形式画出来可以得到下面的图： 那我们怎样对这种图形进行建模呢？如这一节的题目所说，我们将一元高斯分布扩展到多元高斯分布并对RGB值进行建模。 让我们首先来介绍多元高斯分布的数学形式吧： 多元高斯分布和一元高斯分布是十分相似的，我们用加粗的 来表示变量（一个向量）， 表示维度（元的数目），加粗的 表示平均向量，大写的 表示协方差矩阵（Covariance Matrix，是一个方阵）， 表示 的行列式值， 表示矩阵 的转置。 值得一提的是协方差矩阵，它由两部分组成，方差（Variance）和相关性（Correlation），对角线上的值表示方差，非对角线上的值表示维度之间的相关性。拿一个二维协方差矩阵作栗子： 其中，对角线上的 和 分别表示变量 和 的独立方差，非对角线上的 表示两个变量之间的相关性（注意 和 是相等的）。 回到小球检测的栗子，我们考虑用RGB来对“红色

在这一节我们将介绍如何使用一元高斯分布对机器人误差进行建模。 在进入正题之前，我们需要首先了解为什么学习高斯分布？什么使得高斯分布有效并且重要？为什么使用高斯分布对噪声和不确定性进行建模（而不是其他概率分布模型，比如均匀分布）？ 高斯分布使得只需要两个参数就能确定一个连续的概率分布。这两个参数分别是均值和方差，这很简洁。这也使得高斯分布易于计算和推断。 高斯分布有一些较好的数学性质。例如，两个高斯分布的积还是高斯分布。这使得你在对高斯分布做运算的时候不需要考虑其他的概率分布。 理论上来说，根据中心极限定理，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以高斯分布为极限。而噪声和不确定性就是包含大量相互独立的随机变量的数据，用高斯分布对它们进行建模是不二选择。 说了这么多，我们来举个栗子吧，怎样使用高斯分布来对一个目标颜色进行建模？ 下图是足球机器人通过头顶摄像机拍摄到的照片。 显然，图片中有两种颜色的球，黄球和红球。我们设想这个足球机器人想检测图片中的黄球。对于人类来说，一眼就能分辨出黄球在哪，但对一个机器人来说这并不简单。机器人读入的图片是一个一个像素的数值，它需要建立从像素的数值到“黄色”或者“红色”的映射。不妨让我们来看看“黄球”里面的像素数值是怎样的。我们记录黄球的每个像素的色相值（Hue， HSV模型 中表示色彩的基本属性，就是平常所说的颜色名称，如红色、黄色等）