傅里叶级数

傅里叶变换 傅里叶级数是针对周期性函数在时域上的展开 傅里叶变换是傅里叶级数在频域上的可视化 Key_Function Code import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 30) wave = np.cos(x) transformed = np.fft.fft(wave) # 对余弦波信号应用fft函数 # ifft是fft函数的逆运算 print(np.all(np.abs(np.fft.ifft(transformed) - wave) < 10 ** -9)) # True plt.plot(transformed) plt.show() 来源：博客园 作者： draven123 链接：https://www.cnblogs.com/draven123/p/11410094.html

（转自） https://blog.csdn.net/mediatec/article/details/88820287 如有侵犯，请联系我及时删除!!! 高等数学(下)知识点总结 首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目： 类比平面解析几何，不难得出如下的夹角与距离的概念: 研究完平面，我们研究直线。直线也有下面三种方程: 计算夹角的方法如下: 用好过直线的平面束，可以解决很多问题: 研究完直线，我们研究曲线。曲线有如下形式的一般方程: 曲线也可用参数方程表达: 我们还有投影的概念: 研究空间解析几何，一定程度上为多元函数的研究提供了基础，多元函数的最基本概念请同学们牢记: 随后我们研究了偏导数: 以及高阶偏导数: 用好全微分的概念，可以处理很多计算偏导数的题目: 研究完最简单的偏导数，我们想研究复合函数的偏导数。由于复合方法多种多样，也有如下两种不同的情形: 隐函数定理压轴登场!一个方程的情形，计算偏导数的公式如下: 方程组联立的情形下，我们引入了雅可比行列式的概念，方法如下。乍一看公式似乎很复杂，实际就是解一个线性方程组~ 除了在坐标轴方向有偏导数，我们在任意方向都可以定义方向导数。自然要用到梯度的概念: 多元函数微分学反过来对第一章的空间解析几何提供了方法: 在没有限制条件的情况下，我们可以借助偏导数求出多元函数的极值:

引用： https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28 上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？ 我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达: 其对应的解为： 如何将其变为任意周期的函数呢？ 其实这里只需要简单的换元操作即可。 举个栗子: 其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下: 所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。 so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可： 同样的可以得到： 最后我们得到: 过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。 2 傅里叶级数的复数形式 我们在写一下傅里叶级数的公式： 其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是: 想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。 关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。 我们先看下公式： 可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。 image.png 而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动 欧拉公式.gif 随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。 而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：

1， 什么是傅里叶级数 什么是级数？ 来自百度百科：级数是指将 数列 的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是 分析学 的一个分支；它与另一个分支 微积分学 一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是: 这种由很多项相加的形式就是级数。 对于函数就是如下这个形式： 如何用级数表达一个周期函数 在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。 image.png 所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。 法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。 看一个动图来理解下这句话。 Fourier_series_square_wave_circles_animation 右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。 下面给出傅里叶级数的数学公式。 原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。

前言 本文是对DR_CAN在哔哩哔哩网站上的课程学习笔记，很感谢DR_CAN老师的讲解，终于使我理解了傅里叶的推导过程。 学习网址：https://space.bilibili.com/230105574/channel/detail?cid=67768 1.三角函数的正交性 正交，可以理解为垂直。 两个向量正交如下图：a垂直b，且a点乘b=0。 三角函数系：集合 正交：证明省略 2.周期“2π”的函数展开为傅里叶级数 3.周期“2L”的函数展开为傅里叶级数 4.傅里叶级数的“复数”形式 来源： CSDN 作者： 全幼儿园最阔爱 链接： https://blog.csdn.net/qq_35612481/article/details/90271795

傅里叶变换 傅里叶级数是针对周期性函数在时域上的展开 傅里叶变换是傅里叶级数在频域上的可视化 Key_Function Code import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 30) wave = np.cos(x) transformed = np.fft.fft(wave) # 对余弦波信号应用fft函数 # ifft是fft函数的逆运算 print(np.all(np.abs(np.fft.ifft(transformed) - wave) < 10 ** -9)) # True plt.plot(transformed) plt.show() 来源： https://www.cnblogs.com/draven123/p/11410094.html

这部分我们从有限维扩展到无限维，在无限维空间中线性代数依然有效。首先，我们来回顾一下，我们一开始是以向量、点积和线性组合进行展开的。现在我们开始将这些基本的概念转化到无限维的情况，然后再继续深入探索。 一个向量有无限多的元素是什么意思呢？有两种答案，都非常好。 向量变成 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) ，比如 \((1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots)\) 向量变成一个函数 \(f(x)\) ，比如 \(sin \space x\) 很自然，两个无限维向量的点积是一个无限维的级数： 但是这带来了一个新问题，这个无限的和加起来会是一个有限的数字吗？这个级数收敛吗？这是有限和无限第一个并且是最大的差异。如果 \(\boldsymbol v=\boldsymbol w=(1,1,1,\cdots)\) ，和肯定不收敛，这时候 \(\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \boldsymbol v=||v||^2\) ，也就是说向量的长度为无穷，我们不想要这样的向量。因为我们可以制定规则，所以我们不用包含它，这里我们只允许长度有限的向量。 向量 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) 位于我们的有限维希尔伯特

14 正交向量与正交子空间 正交向量 正交就是垂直的另一种说法。两向量正交的判据之一就是其点积 当两个向量的夹角为90度的时候，按照勾股定理x,y满足: 正交子空间 子空间S与子空间T正交，则S中任意一个向量都与T中任意一个向量正交。 15 子空间投影 投影 几何解释：在向量a上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出距离点p最近就是穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是b在a上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似，则长度e=b-p就是这一近似的误差。 因为p在向量a的方向上，因此可以令p=xa，而因为它与e正交，我们可以得到方程： 解得： 投影矩阵 将投影问题用投影矩阵方式进行描述，即p=Pb，其中P为投影矩阵。 则有： 在高维投影 如果a1和a2构成平面的一组基，则平面就是矩阵A=[a1a2]的列空间 已知向量p在平面内，则有 而： 与平面正交，因此e与a1和a2均正交，因此 16 投影矩阵和最小二乘法 投影 如果向量b本身就在A列空间之内，即存在x使得Ax=b，则有： 如果向量b与A的列空间正交，即向量b在矩阵的左零空间N(A)中： 最小二乘法 最优解的含义即为误差最小，这里误差就是每个方程误差值的平方和 误差即为数据点到直线距离的平方和。 对于空间向量b，投影矩阵A的列向量中得到p=[p1 p2 p3]T,投影到矩阵A的零空间中则为e。 17