傅里叶级数

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 　　我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 　　这篇文章的核心思想就是： 　　 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 　　傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 　　————以上是定场诗———— 　　下面进入正题： 　

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句

作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 文章来源： https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了 . 目录 一、什么是频域 二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱 三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱 四、傅里叶变换（Fourier Transformation） 五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式 六、指数形式的傅里叶变换 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析 。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以

https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html 来源： https://www.cnblogs.com/ransn/p/12221706.html

目录 傅里叶级数的指数形式 信号与系统中的傅里叶级数 特征函数 傅里叶级数分析公式推导 正交性的说明 傅里叶级数的指数形式 先从数学定义中的三角形式傅里叶级数出发，来讨论这个问题： \[ f(t) = \frac{{{a_0}}}{2} + {a_1}\cos (\omega t) + {b_1}\sin (\omega t) + {a_2}\cos (2\omega t) + {b_1}\sin (2\omega t) + ... \\ = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {[{a_n}\cos (n\omega t) + {b_n}\sin (n\omega t)]} \\ \] \[ {a_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\cos (n\omega t)dt} \\ {b_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} {f(t)\sin (n\omega t)dt} \\ \] 其中，f(x)要求是周期函数。 若作如下的转换： \[ {c_0} = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f(t)dt}\\ {c_n} = \frac{{{a_n} - j{b_n}

首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19 世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768 年，死于1830 年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t) 硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t) 描述成一个常数系数a0、及1 倍ω的sin 和cos 函数、2 倍ω的sin 和cos 函数等、到n 倍ω的sin 和cos 函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An 和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[- π, π] ，也相当一个周期T 的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式， 以使傅里叶级数来得明白些， 让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich 生娃学工打折腿 知乎日报收录 作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻

原文出处： 韩昊 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作 者：韩 昊 知 乎： Heinrich 微 博： @ 花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 2012 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句

这部分我们从有限维扩展到无限维，在无限维空间中线性代数依然有效。首先，我们来回顾一下，我们一开始是以向量、点积和线性组合进行展开的。现在我们开始将这些基本的概念转化到无限维的情况，然后再继续深入探索。 一个向量有无限多的元素是什么意思呢？有两种答案，都非常好。 向量变成 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) ，比如 \((1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots)\) 向量变成一个函数 \(f(x)\) ，比如 \(sin \space x\) 很自然，两个无限维向量的点积是一个无限维的级数： 但是这带来了一个新问题，这个无限的和加起来会是一个有限的数字吗？这个级数收敛吗？这是有限和无限第一个并且是最大的差异。如果 \(\boldsymbol v=\boldsymbol w=(1,1,1,\cdots)\) ，和肯定不收敛，这时候 \(\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \boldsymbol v=||v||^2\) ，也就是说向量的长度为无穷，我们不想要这样的向量。因为我们可以制定规则，所以我们不用包含它，这里我们只允许长度有限的向量。 向量 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) 位于我们的有限维希尔伯特

吐槽时光： 今天在学习OFDM的离散傅里叶变换时，突然一时想不起来DFT以及IDFT的公式，很是苦恼，甚至是万分痛苦，这究竟是为什么？ 从本科就开始搞这些玩意，那时候看到连续的还算亲切，但到了离散的时候就觉得是天书一般，我甚至一度怀疑自己是不是智力真的不够用，为什么我学不会这玩意？ 到了研究生阶段，一度为了查漏补缺，我也曾废寝忘食地总结过这方面的知识，查了好几个版本的书，做了一些笔记，但那时候都是用纸张记录，过了一段时间，学习其他东西不曾翻看，又经历搬实验室的一系列原因，笔记都没有了。（我承认我不喜欢去翻看那落上灰尘的纸张，往往当成废纸扔了。） 时间又过了许久，听报告时，又再度听到OFDM的字眼，真是出现的频率有点高，我曾还算认真的看过OFDM，所以听到这个名词时，会有些敏感，但又想不起来具体的过程了，恰好，我开通博客已经许久，这种记录方式，总不会让我说扔就扔吧，中途用到了IDFT，使用IDFT的这个过程，真的让我很难理解，然而在通信这个系列的博客中，我是决心搞懂的，还下了誓言，不然是小狗，哈哈，通信系列博客目录在此： Ŀ¼ ，在 用离散傅里叶变换实现OFDM 这个博文中，整理的不算很到位，我正在修改，争取通俗易懂，至少做到准确。 在 用离散傅里叶变换实现OFDM 这篇博文的润色上花了不少时间，这中间的一个歧途就是我强迫自己去理解DFT，IDFT的一些列知识，事实上