吐槽时光：
今天在学习OFDM的离散傅里叶变换时，突然一时想不起来DFT以及IDFT的公式，很是苦恼，甚至是万分痛苦，这究竟是为什么？
从本科就开始搞这些玩意，那时候看到连续的还算亲切，但到了离散的时候就觉得是天书一般，我甚至一度怀疑自己是不是智力真的不够用，为什么我学不会这玩意？
到了研究生阶段，一度为了查漏补缺，我也曾废寝忘食地总结过这方面的知识，查了好几个版本的书，做了一些笔记，但那时候都是用纸张记录，过了一段时间，学习其他东西不曾翻看，又经历搬实验室的一系列原因，笔记都没有了。（我承认我不喜欢去翻看那落上灰尘的纸张，往往当成废纸扔了。）
时间又过了许久，听报告时，又再度听到OFDM的字眼，真是出现的频率有点高，我曾还算认真的看过OFDM，所以听到这个名词时，会有些敏感，但又想不起来具体的过程了，恰好，我开通博客已经许久，这种记录方式，总不会让我说扔就扔吧，中途用到了IDFT，使用IDFT的这个过程，真的让我很难理解，然而在通信这个系列的博客中，我是决心搞懂的，还下了誓言，不然是小狗，哈哈，通信系列博客目录在此：Ŀ¼，在用离散傅里叶变换实现OFDM这个博文中，整理的不算很到位，我正在修改，争取通俗易懂，至少做到准确。
在用离散傅里叶变换实现OFDM这篇博文的润色上花了不少时间，这中间的一个歧途就是我强迫自己去理解DFT，IDFT的一些列知识，事实上，找到公式拿来用就可以了，可是我不舒服呀，浑身难受，我怎么就不能完全征服了这个东西呢？这都搞不懂，那小波变换呢？压缩感知呢？如何深入研究？
最后，我看了多种博文，看了奥本海姆的离散信号处理，差点让我冲动到烧书，我没时间去研究前因后果了，我想知道DFT如何导出的，可这导出过程又牵扯到离散周期序列的傅里叶级数，这不要紧，我懂，可又出来了个离散周期序列的傅里叶变换，还有，还有。。。我受不了了，我不看了还不行吗？我只用用还不行吗？于是才有了这篇为了使用而写的离散傅里叶变换，不去深入讨论其性质，严格推导其由来，这个工作我会做，但不是现在。快期末考试了，我紧张的要死。
1. 离散周期信号的傅里叶级数及其系数（DFS）
1）针对的对象：周期离散序列，设周期为N；
2）像连续周期信号那样用傅里叶级数表示信号，也即周期序列x[n]的傅里叶级数（DFS）表示：
其中：
从上面的公式中可以看到，积分限从0到N-1，而非像连续周期信号的傅里叶级数那样，从
到
，这是为什么呢？也就是说，为什么不像连续周期信号的傅里叶级数一样，需要无穷多个成谐波关系的复指数合成？
这是因为：
即
对于n来说，是以N为周期的，所以只需要一个周期就可以了。
（连续周期信号的傅里叶变换要不要贴出来呢？）
3）下面在给出傅里叶系数的表达式：
（要不要推导一个这个式子怎么来的呢？）
注意：上面的DFS以及IDFS，自变量的取值范围都是从负无穷到正无穷。
之所以要先讲离散傅里叶级数，是因为它和离散傅里叶变换有看上去不小的联系呢，至少可以直观的、感官上地对比。
2. 离散傅里叶变换（DFT）
正变换公式（DFT）：
逆变换公式（IDFT）：
（我一定要找到离散傅里叶变换的矩阵表示，我就不自己写出来，打出来太麻烦了。）
对比DFS与DFT可以很明显的看到，二者之间的关系为：
除了取值范围不同，其他基本一致，实际应用中，要处理的信号大多数为有限长的非周期信号，因此DFT更常用。
DFT只不过是特殊的DFS，就是对DFS的时域和频域只取主值部分。
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这部分参考：写的不错的博文
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列
和
都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。