二元关系

4.5（1）等价关系 等价关系用来研究元素中分类的特征。 例如集合上的恒等关系和全域关系这些都是等价关系。 例题： 这里将“同一门课”具体到特定的一门课就是等价关系了。 书上的模n同余是经典的等价关系，下边我们来证明： 我们引入等价类的概念： 即把在某种关系下彼此等价的元素放在一个集合中。 例题： 等价类有以下性质： 现在我们再把等价类作为元素构造一个集合： 例题： 定义等价的关系是为了来分类，那么分类又是怎样来定义的呢？ 我们引入我们生活中分类常用的概念：覆盖和划分。 可见，覆盖是允许子集之间的重合的。而划分在覆盖的基础上要求子集之间不能有重合。 例题： 现在我们把划分和等价类连起来： 集合A上的等价关系与集合A的划分是一 一 对应的。 那么给出一个划分我们怎么逆推出等价关系呢？我们给出以下方法： 例题： 练习1： 解析: 集合有多少不同划分,就有多少不同等价关系。分别是{{1},{2},{3}};{{1},{2,3}};{{1,3},{2}};{{1,2},{3}};{{1,2,3}}; 练习2： 练习3： 来源： CSDN 作者： 梦里一声何处鸿 链接： https://blog.csdn.net/Deam_swan_goose/article/details/103734189

4.5（2）偏序关系 偏序关系用来研究一个集合中元素之间是否可以进行大小比较和排序。 例题： 由此可见，小于等于关系使A中的元素可以比较，排序。 我们引入可比的概念: 例如： 为了更直观的表示偏序集所表达的元素的比较和排序关系，我们引入哈斯图的概念： 根据其覆盖关系相连。 反过来，我们也可以通过其哈斯图来逆推其关系： 例如： 注意： <1>因为哈斯图的节点是按照偏序关系从底往上排列的，所以在看图写关系的时候应该从底部出发往上找对应关系。例如：本题中有<c,e>但是没有<c,a>。 <2>因为偏序关系是满足自反性的，而哈斯图又不能体现出自连。所以最后别忘啦与 I A I_A I A ​ 取并集。 简单说就是偏序集中任何两个元素之间都是满足偏序关系的，则这个偏序集我们就叫做全序集。 例题： 既然在偏序关系中元素可以比较大小，那么我们可以给出最小（大）元和极小（大）元的定义： 只看概念不好理解，我们来看其哈斯图： 这样就一目了然了： <1>极大元：每个分支上的最高点。 <2>极小元：每个分支上的最低点。 <3>最大元: 一个大于等于（表示位置）任何元素的元素。 <4>最小元: 一个小于等于（表示位置）任何元素的元素。 这个偏序集没有最大元，也没有最小元。 解析： 没有最大元：e不大于等于（表示位置）g和h 没有最小元：a,b,f,h相互不小于等于（表示位置） 我们得出已下结论：