二项式

概念 二项式反演为一种反演形式，常用于通过 “指定某若干个” 求 “恰好若干个” 的问题。 注意：二项式反演虽然形式上和多步容斥极为相似，但它们并不等价，只是习惯上都称之为多步容斥。 引入 既然形式和多步容斥相似，我们就从多步容斥讲起。 我们都知道：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ ，这其实就是容斥原理。 它的一般形式为： $$|A_1\cup A_2\cup...\cup A_n|=\sum\limits_{1\le i\le n}|A_i|-\sum\limits_{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|+...+(-1)^{n-1}\times |A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n|$$ 证明： 设某一元素被 $m$ 个集合所包含，则其对左侧的贡献为 $1$ ； 对右侧的贡献为 $\sum\limits_{i=1}^m(-1)^{i-1}{m\choose i}=-\sum\limits_{i=1}^m(-1)^i{m\choose i}=1-\sum\limits_{i=0}^m(-1)^i{m\choose i}=1-(1-1)^m=1$ 。 故左侧等于右侧 ，证毕。 形式 形式零 沿用刚刚多步容斥的公式，记 $A_i^c$ 表示 $A_i$ 的补集，则将一般形式变形，可以得到： $$ |A_1^c\cap A

也许更好的阅读体验 文章目录 表达 证明 表达 若有 f ( n ) = ∑ i = 0 n ( n i ) g ( i ) f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) f ( n ) = ∑ i = 0 n ​ ( i n ​ ) g ( i ) 则有 g ( n ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i ( n i ) f ( i ) g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) g ( n ) = ∑ i = 0 n ​ ( − 1 ) n − i ( i n ​ ) f ( i ) 证明 g ( n ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i ( n i ) f ( i ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i ( n i ) ∑ j = 0 i ( i j ) g ( j ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 i ( − 1 ) n − i ( n i ) ( i j ) g ( j ) = ∑ j = 0 n ∑ i = j n ( − 1 ) n − i ( n i ) ( i j ) g ( j ) \begin{aligned}g(n)&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)\\ &=\sum_{i=0}^n(-1